Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box | 1= Aufgabe: Weg zum Training | 2= Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur 6km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit 4 km/h. Pauk steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 16 km/h. Beide nehmen den selben Weg. Wann und wo treffen sie sich? | {{Box | 1= Aufgabe: Weg zum Training | 2= Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur 6km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit 4 km/h. Pauk steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 16 km/h. Beide nehmen den selben Weg. Wann und wo treffen sie sich? | ||
{{Lösung versteckt|1= Überlege, welche Werte oben die Steigung und welche den y-Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darstellt. Male es dir graphisch in einem Koordinatensystem auf und überlege, welche Einheit auf der x- und welche auf der y-Achse steht. | {{Lösung versteckt|1= Überlege, welche Werte oben die Steigung und welche den y-Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darstellt. Male es dir graphisch in einem Koordinatensystem auf und überlege, welche Einheit auf der x- und welche auf der y-Achse steht. Stelle dann die entsprachenden Funktionsgleichungen auf. | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Johannes' und Pauls Weg.png|1000px]]|2=graphische Skizze|3=Tipp}} | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Johannes' und Pauls Weg.png|1000px]]|2=graphische Skizze|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2= | {{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2= Tipp zum Aufstellen der Funktionsgleichungen|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2=2 | {{Lösung versteckt|1=Text zum Verstecken|2= Tipp zum rechnerischen Vorgehen|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Damit du siehst, dass du richtig abgelesen hast, kannst du zur Kontolle den x-Wert in eine der Funktionsgleichungen setzen |2= Tipp zur graphischen Lösung|3=Tipp}}|2= Tipp|3=Tipp}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit 4km/h stellt die Steigung m der Gleichung da. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Staatspunkt bei 0km. Somit erhält man für Johannes die Gleichung <math>f_J(x)=4 \cdot x </math>, wobei x die Zeit in Stunden verkörpert. Paul fährt ihm mit 16 km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die steiggung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung <math> f_P(x)=-16 \cdot x + b </math>. Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert b=6 für den y-Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleiichung <math> f_P(x)=-16 \cdot x + 6 </math>. | {{Lösung versteckt|1= Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit 4km/h stellt die Steigung m der Gleichung da. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Staatspunkt bei 0km. Somit erhält man für Johannes die Gleichung <math>f_J(x)=4 \cdot x </math>, wobei x die Zeit in Stunden verkörpert. Paul fährt ihm mit 16 km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die steiggung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung <math> f_P(x)=-16 \cdot x + b </math>. Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert b=6 für den y-Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleiichung <math> f_P(x)=-16 \cdot x + 6 </math>. | ||
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2. Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab. | 2. Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab. | ||
[[Datei:Johannes' und Pauls Schnittpunkt(1).png|1200px]] | [[Datei:Johannes' und Pauls Schnittpunkt(1).png|1200px]]<br/> | ||
Mit beiden Lösungwegen erhälst du die Werte x=0,3 und | Mit beiden Lösungwegen erhälst du die Werte x=0,3 und f(0,3)=1,2. Daraus lässt sich schließen, dass sich die beiden in einer Entfernung von 1,2 km von Johannes' Startpunkt nach 0,3h = 18min treffen. | ||
|2=Lösung|3=Lösung}} | |||
| 3= Arbeitsmethode}} | | 3= Arbeitsmethode}} |
Version vom 11. November 2020, 17:26 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Erklärungstext
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Liegen die Punkte auf dem Graphen?
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Linearen Funktionen haben immer einen Schnittpunkt mit der -Achse, den -Achsenabschnitt. Zusätzlich schneiden alle Funktionen, die nicht konstant sind, die -Achse. Diesen Punkt nennt man auch die Nullstelle der Funktion, da der zugehörige -Wert an dieser Stelle immer gleich ist. Aber es können sich auch zwei lineare Funktionen in einem Punkt schneiden.
Du kannst den Schnittpunkt von linearen Funktionen auf zwei Arten bestimmen.
- Rechnerisch
- Graphisch
Das graphische Bestimmen des Schnittpunktes kann ungenau sein, da du den Schnittpunkt manchmal nicht exakt ablesen kannst. Durch eine Rechnung erhälst du immer den genauen Schnittpunkt.
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)
Die Nullstelle einer linearen Funktion ist der Schnittpunkt der Funktion mit der -Achse. Die Berechnung ist daher oftmals leichter als die Berechnung des Schnittpunktes zweier linearer Funktionen, da der -Wert bereits bekannt ist, dieser ist immer .
Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie du die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmst, dann schau dir die Tipps an. Ansonsten kannst du direkt mit der Aufgabe starten.
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben/ Modellierungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.
b) ohne "Lies ab" sondern Lösungsweg frei wählbar, dann müsste c) aber anders formuliert werden.