Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.''' | '''Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.''' | ||
{{Box | 1= Aufgabe 10: Abbrennen einer Kerze |2= [[Datei:Kerze abbrennen.png|mini|rechts|220px]] Eine Kerze ist 1,5 Stunden nach dem Anzünden 12 cm und 3,5 Stunden nach dem Anzünden noch 6 cm hoch. | {{Box | 1= Aufgabe 10: Abbrennen einer Kerze |2= [[Datei:Kerze abbrennen.png|mini|rechts|220px]] Eine Kerze ist <math>1{,}5</math> Stunden nach dem Anzünden <math>12</math> cm und <math>3{,}5</math> Stunden nach dem Anzünden noch <math>6</math> cm hoch. | ||
'''a)''' '''Zeichne''' den Graphen der Zuordnung Zeit <math>\mapsto</math> Länge der Kerze. | '''a)''' '''Zeichne''' den Graphen der Zuordnung Zeit <math>\mapsto</math> Länge der Kerze. | ||
<br/> '''b)''' '''Lies''' an deiner Zeichnung folgende Werte '''ab''': | <br/> '''b)''' '''Lies''' an deiner Zeichnung folgende Werte '''ab''': | ||
* Wie lang war die Kerze zu Beginn? | * Wie lang war die Kerze zu Beginn? | ||
* Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch 1,5 cm hoch? | * Nach welcher Brennzeit ist sie nur noch <math>1{,}5</math> cm hoch? | ||
* Wann ist sie abgebrannt? | * Wann ist sie abgebrannt? | ||
'''c)''' '''Bestimme''' die '''Änderungsrate''' und gib die '''Funktionsgleichung''' in der Form <math>f(x)=mx+b</math> an. <br/> Ermittle nun die gesuchten Werte aus '''b)''' mithilfe der Gleichung. | '''c)''' '''Bestimme''' die '''Änderungsrate''' und gib die '''Funktionsgleichung''' in der Form <math>f(x)=mx+b</math> an. <br/> Ermittle nun die gesuchten Werte aus '''b)''' mithilfe der Gleichung. | ||
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|2=Tipps|3=Tipps schließen}} | |2=Tipps|3=Tipps schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph Aufgabe 10.png|mini|rechts|200px]]Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Aus der Aufgabenstellung erhälst du die beiden Punkte <math>P(1,5|12)</math> und <math>Q(3,5|6)</math>. Zeichne diese in dein Koordinatensystem ein und verbinde sie durch eine Gerade, die über die beiden Punkte hinaus geht.<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>|2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | {{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph Aufgabe 10.png|mini|rechts|200px]]Zeichne ein Koordinatensystem in dein Heft. Aus der Aufgabenstellung erhälst du die beiden Punkte <math>P(1{,}5|12)</math> und <math>Q(3{,}5|6)</math>. Zeichne diese in dein Koordinatensystem ein und verbinde sie durch eine Gerade, die über die beiden Punkte hinaus geht.<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>|2=Lösung zu a)|3=Lösung zu a) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph Aufgabe 10b).png|mini|rechts|200px]] | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph Aufgabe 10b).png|mini|rechts|200px]] | ||
* 'Zu Beginn' bedeutet, dass <math>x=0</math> ist. Also sollst du den <math>y</math>-Achsenabschnitt ablesen. Dieser ist <math>b=16,5</math>. Zu Beginn war die Kerze also 16, | * 'Zu Beginn' bedeutet, dass <math>x=0</math> ist. Also sollst du den <math>y</math>-Achsenabschnitt ablesen. Dieser ist <math>b=16{,}5</math>. Zu Beginn war die Kerze also <math>16{,}5</math> cm hoch.<br/><br/> | ||
* Die Brennzeit, bei der die Kerze noch 1, | * Die Brennzeit, bei der die Kerze noch <math>1{,}5</math> cm hoch ist, beträgt <math>5</math> Stunden. Diese erhältst du, indem du den <math>x</math>-Wert zum Wert <math>y=1{,}5</math> abliest. Dieser ist <math>x=5</math>. <br/><br/> | ||
*'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich <math>0</math> ist, also <math>y=0</math>. Du sollst also die Nullstelle ablesen. Diese ist <math>x=5,5</math>. Also ist die Kerze nach 5,5 Stunden abgebrannt. | *'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich <math>0</math> ist, also <math>y=0</math>. Du sollst also die Nullstelle ablesen. Diese ist <math>x=5{,}5</math>. Also ist die Kerze nach <math>5{,}5</math> Stunden abgebrannt. | ||
<br/><br/><br/><br/><br/><br/>|2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | <br/><br/><br/><br/><br/><br/>|2=Lösung zu b)|3=Lösung zu b) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Änderungsrate ist die Steigung <math>m</math> der Geraden. Diese berechnest du mit den oben ermittelten Punkten <math>P(1,5|12)</math> und <math>Q(3,5|6)</math> wie folgt: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{6-12}{3,5-1,5}=-\frac{6}{2}=-3</math>. <br/><br/> Den <math>y</math>-Achsenabschnitt hast du schon bei Teilaufgabe b) ermittelt. Dieser war <math>b=16,5</math>. <br/><br/> Setze <math>m</math> und <math>b</math> nun in die allgemeine Form <math>f(x)=mx+b</math> ein. Du erhältst dann: <math>f(x)=-3x+16,5</math>. | {{Lösung versteckt|1=Die Änderungsrate ist die Steigung <math>m</math> der Geraden. Diese berechnest du mit den oben ermittelten Punkten <math>P(1{,}5|12)</math> und <math>Q(3{,}5|6)</math> wie folgt: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{6-12}{3{,}5-1{,}5}=-\frac{6}{2}=-3</math>. <br/><br/> Den <math>y</math>-Achsenabschnitt hast du schon bei Teilaufgabe b) ermittelt. Dieser war <math>b=16{,}5</math>. <br/><br/> Setze <math>m</math> und <math>b</math> nun in die allgemeine Form <math>f(x)=mx+b</math> ein. Du erhältst dann: <math>f(x)=-3x+16{,}5</math>. | ||
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*'Zu Beginn' bedeutet, dass <math>x=0</math> ist. Also <math>f(0)=-3\cdot0+16,5=16,5</math>. | *'Zu Beginn' bedeutet, dass <math>x=0</math> ist. Also <math>f(0)=-3\cdot0+16{,}5=16{,}5</math>. | ||
* Du weißt, dass die Höhe noch 1, | * Du weißt, dass die Höhe noch <math>1{,}5</math> cm beträgt. Setze also <math>f(x)=1{,}5</math>. Dann gilt: <br/><math>1{,}5=-3x+16{,}5</math> <br/><math>\Leftrightarrow -15=-3x</math> <br/><math>\Leftrightarrow x=5</math>. | ||
* 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich <math>0</math> ist. Setze also <math>f(x)=0</math>. Dann gilt: <br/><math>0=-3x+16,5</math> <br/><math>\Leftrightarrow -16,5=-3x</math> <br/><math>\Leftrightarrow x=5,5</math>.|2=Lösung zu c)|3=Lösung zu c) schließen}} | * 'Abgebrannt' bedeutet, dass die Höhe gleich <math>0</math> ist. Setze also <math>f(x)=0</math>. Dann gilt: <br/><math>0=-3x+16{,}5</math> <br/><math>\Leftrightarrow -16{,}5=-3x</math> <br/><math>\Leftrightarrow x=5{,}5</math>.|2=Lösung zu c)|3=Lösung zu c) schließen}} | ||
|2=Lösungen|3=Lösungen schließen}} | |2=Lösungen|3=Lösungen schließen}} | ||
Version vom 2. Dezember 2020, 07:59 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen.
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.