Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
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'''a)''' Die Steigung ist <math> m = 5 </math> und der Punkt <math>P(-1|-7)</math>. | '''a)''' Die Steigung ist <math> m = 5 </math> und der Punkt <math>P(-1|-7)</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = 5x + b</math> entsteht. | {{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f\left(x\right) = 5x + b</math> entsteht. | ||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-1|-7)</math>. Dann erhältst du mit <math>x = -1</math> und <math>f(x) = -7</math> die Gleichung <math>-7 = 5\cdot(-1) + b</math>. | # Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-1|-7)</math>. Dann erhältst du mit <math>x = -1</math> und <math>f\left(x\right) = -7</math> die Gleichung <math>-7 = 5\cdot(-1) + b</math>. | ||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -2</math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f(x) = 5x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung schließen}} | # Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = -2</math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = 5x - 2</math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung schließen}} | ||
'''b)''' Die Steigung ist <math>m = 4{,}5</math> und der Punkt <math>P(4|18{,}5)</math>. | '''b)''' Die Steigung ist <math>m = 4{,}5</math> und der Punkt <math>P(4|18{,}5)</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 4{,}5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = 4{,}5\cdot x + b</math> entsteht. | {{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math>m = 4{,}5</math> ein, sodass die Gleichung <math>f\left(x\right) = 4{,}5\cdot x + b</math> entsteht. | ||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(4|18{,}5)</math>. Dann erhältst du mit <math>x = 4 </math> und <math>f(x) = 18{,}5 </math> die Gleichung <math> 18{,}5 = 4{,}5\cdot4 + b</math>. | # Nutze die Angabe des Punktes <math>P(4|18{,}5)</math>. Dann erhältst du mit <math>x = 4 </math> und <math>f\left(x\right) = 18{,}5 </math> die Gleichung <math> 18{,}5 = 4{,}5\cdot4 + b</math>. | ||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = 0{,}5 </math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f(x) = 4{,}5\cdot x + 0{,}5 </math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung schließen}} | # Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b = 0{,}5 </math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = 4{,}5\cdot x + 0{,}5 </math> ergibt.|2 = Lösung|3 = Lösung schließen}} | ||
'''c)''' Die Steigung ist <math>m = \frac{2}{3}</math> und der Punkt <math>P(-3|-\frac{4}{5})</math> | '''c)''' Die Steigung ist <math>m = \frac{2}{3}</math> und der Punkt <math>P(-3|-\frac{4}{5})</math> | ||
{{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math> m = \frac {2}{3}</math> ein, sodass die Gleichung <math>f(x) = \frac{2}{3}\cdot x + b</math> entsteht. | {{Lösung versteckt|1 = # Setze als erstes für die Steigung <math> m = \frac {2}{3}</math> ein, sodass die Gleichung <math>f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x + b</math> entsteht. | ||
# Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-3|-\frac{4}{5})</math>. Dann erhältst du mit <math>x = -3 </math> und <math>f(x) =-\frac{4}{5} </math> die Gleichung <math> -\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot(-3) + b</math>. | # Nutze die Angabe des Punktes <math>P(-3|-\frac{4}{5})</math>. Dann erhältst du mit <math>x = -3 </math> und <math>f\left(x\right) =-\frac{4}{5} </math> die Gleichung <math> -\frac{4}{5}= \frac{2}{3}\cdot(-3) + b</math>. | ||
# Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b =\frac{6}{5} </math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f(x) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}</math> ergibt. | # Bestimme mit Auflösung nach <math>b</math> den Wert <math>b =\frac{6}{5} </math>. Schließlich erhältst du, wenn du die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> einsetzt, die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = \frac{2}{3}\cdot x +\frac{6}{5}</math> ergibt. | ||
|2 = Lösung| 3 = Lösung schließen}} | |2 = Lösung| 3 = Lösung schließen}} | ||
|3=Arbeitsmethode}} | |3=Arbeitsmethode}} | ||
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Die Steigung '''berechnest '''du folgendermaßen: <br \> | Die Steigung '''berechnest '''du folgendermaßen: <br \> | ||
# Du suchst zwei beliebige Punkte <math>P(x_1|f(x_1))</math> und <math>Q(x_2|f(x_2))</math>, die auf dem Graphen der Funktion liegen.<br \> | # Du suchst zwei beliebige Punkte <math>P(x_1|f(x_1))</math> und <math>Q(x_2|f\left(x_2\right))</math>, die auf dem Graphen der Funktion liegen.<br \> | ||
# Um den '''Höhenunterschied ''' der Punkte zu bestimmen, benötigst du die '''<math>y</math>-''' bzw. '''<math>f(x)</math>-Koordinaten''' der Punkte P und Q: Höhenunterschied: <math>f(x_2)-f(x_1)</math> <br \> | # Um den '''Höhenunterschied ''' der Punkte zu bestimmen, benötigst du die '''<math>y</math>-''' bzw. '''<math>f\left(x\right)</math>-Koordinaten''' der Punkte P und Q: Höhenunterschied: <math>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)</math> <br \> | ||
# Um den '''Längenunterschied ''' der Punkte zu bestimmen, benötigst du die '''<math>x</math>-Koordinaten '''der Punkte P und Q: Längenunterschied: <math>x_2-x_1</math> <br \> | # Um den '''Längenunterschied ''' der Punkte zu bestimmen, benötigst du die '''<math>x</math>-Koordinaten '''der Punkte P und Q: Längenunterschied: <math>x_2-x_1</math> <br \> | ||
# Für die Steigung der Geraden gilt dann: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math> <br \> | # Für die Steigung der Geraden gilt dann: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math> <br \> | ||
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{{Box | 1= Aufgabe 6: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen | | {{Box | 1= Aufgabe 6: Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen | | ||
2 = Nutze die in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math> f(x)= m\cdot x+b</math>. <br \> | 2 = Nutze die in den folgenden Teilaufgaben genannten Punkte, durch welche eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweilige Gleichung der Geraden in der Form <math> f\left(x\right)= m\cdot x+b</math>. <br \> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
# Berechne zuerst die Steigung <math>m</math>. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor. | # Berechne zuerst die Steigung <math>m</math>. Gehe dabei wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vor. | ||
# Berechne dann den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math>. Gehe so vor wie bei Aufgabe 5 und setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | # Berechne dann den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math>. Gehe so vor wie bei Aufgabe 5 und setze die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen|3=Tipp schließen}} | |2=Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen|3=Tipp schließen}} | ||
Zeile 204: | Zeile 204: | ||
# Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung <math>m</math>. | # Bestimme anschließend mit Hilfe des Steigungsdreiecks, welches oben im Merkkästchen nochmal erklärt worden ist, die Steigung <math>m</math>. | ||
# Lies den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math> am Graphen ab. | # Lies den <math>y</math>-Achsenabschnitt <math>b</math> am Graphen ab. | ||
# Setze die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | # Setze die Werte für <math>m</math> und <math>b</math> in die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Tipp schließen}} | |2=Lösung mit Hilfe eines Graphen|3=Tipp schließen}} | ||
Zeile 213: | Zeile 213: | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = 3x + 15.</math> | Die Funktionsgleichung lautet <math>f\left(x\right) = 3x + 15.</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> wie folgt: <math>f(x_2)-f(x_1)=42-27=15</math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f\left(x\right)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math> wie folgt: <math>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=42-27=15</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=9-4=5</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(4|27)</math> und <math>Q(9|42)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=9-4=5</math> | ||
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* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{15}{5}=3</math> | ||
* Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m =3</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m =3</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15 </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 27= 3 \cdot 4+ b \Leftrightarrow 27=12+ b \Leftrightarrow b= 15 </math> | ||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 42= 3 \cdot 9+ b \Leftrightarrow 42 =27 + b \Leftrightarrow b= 15 </math> | * Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 42= 3 \cdot 9+ b \Leftrightarrow 42 =27 + b \Leftrightarrow b= 15 </math> | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = 3</math> und <math>b = 15</math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | * Zum Schluss setzt du <math>m = 3</math> und <math>b = 15</math> in die Geradengleichung <math> f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 247: | Zeile 247: | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>h(x) = 2x+5</math>. | Die Funktionsgleichung lautet <math>h\left(x\right) = 2x+5</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math> bzw. <math>h(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math> wie folgt berechnen: <math>h(x_2)-h(x_1)=7-(-1)=8</math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math> bzw. <math>h\left(x\right)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math> wie folgt berechnen: <math>h\left(x_2\right)-h\left(x_1\right)=7-(-1)=8</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-3|-1)</math> und <math>Q(1|7)</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | ||
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* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{8}{4}=2</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{8}{4}=2</math> | ||
* Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = 2 </math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>h(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = 2 </math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>h\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>h(x) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5 </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>h\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow -1= 2 \cdot -3+ b \Leftrightarrow -1=-6+ b \Leftrightarrow b= 5 </math> | ||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>h(x) = mx + b \Leftrightarrow 7= 2 \cdot 1+ b \Leftrightarrow 7=2 + b \Leftrightarrow b= 5 </math> | * Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>h\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 7= 2 \cdot 1+ b \Leftrightarrow 7=2 + b \Leftrightarrow b= 5 </math> | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = 2</math> und <math>b = 5 </math> in die Geradengleichung <math> h(x) = mx + b</math> ein. | * Zum Schluss setzt du <math>m = 2</math> und <math>b = 5 </math> in die Geradengleichung <math> h\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 281: | Zeile 281: | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>f(x) = \frac{8}{5}x -4{,}5</math>. | Die Funktionsgleichung lautet <math>f\left(x\right) = \frac{8}{5}x -4{,}5</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f(x)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12{,}5)</math> und <math>Q(10|11{,}5)</math> wie folgt berechnen: <math>f(x_2)-f(x_1)=11{,}5-(-12{,}5)=24</math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>f\left(x\right)</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12{,}5)</math> und <math>Q(10|11{,}5)</math> wie folgt berechnen: <math>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=11{,}5-(-12{,}5)=24</math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12{,}5)</math> und <math>Q(10|11{,}5)</math> verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=10-(-5)=15</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der Punkte <math>P(-5|-12{,}5)</math> und <math>Q(10|11{,}5)</math> verwenden. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=10-(-5)=15</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math> m=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}</math> | ||
* Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = \frac{8}{5}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = \frac{8}{5}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow -12{,}5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12{,}5=8 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5 </math>} | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow -12{,}5= \frac{8}{5} \cdot (-5)+ b \Leftrightarrow -12{,}5=8 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5 </math>} | ||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f(x) = mx + b \Leftrightarrow 11{,}5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11{,}5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5 </math> | * Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>f\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 11{,}5= \frac{8}{5} \cdot 10+ b \Leftrightarrow 11{,}5 =16 + b \Leftrightarrow b= -4{,}5 </math> | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = \frac{8}{5}</math> und <math>b = -4{,}5 </math> in die Geradengleichung <math> f(x) = mx + b</math> ein. | * Zum Schluss setzt du <math>m = \frac{8}{5}</math> und <math>b = -4{,}5 </math> in die Geradengleichung <math> f\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | ||
Zeile 319: | Zeile 319: | ||
{{Lösung versteckt|1 = | {{Lösung versteckt|1 = | ||
Die Funktionsgleichung lautet <math>g(x) = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}</math>. | Die Funktionsgleichung lautet <math>g\left(x\right) = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}</math>. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
* Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>g(x)</math>-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>, da diese Brüche gleichnamig sind und die Subtraktion einfacher ist. Du kannst die Steigung aber auch mit den anderen Punkten bestimmen. Dann berechnen wie folgt: <math>g(x_2)-f(x_1)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1 </math> | * Für den Höhenunterschied der Punkte berechnest du die <math>y</math>- bzw. <math>g\left(x\right)</math>-Koordinaten zweier Punkte der Wertetabelle. Wir wählen zum Beispiel die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>, da diese Brüche gleichnamig sind und die Subtraktion einfacher ist. Du kannst die Steigung aber auch mit den anderen Punkten bestimmen. Dann berechnen wie folgt: <math>g\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=1 \frac{1}{4}-\frac{9}{4}=-1 </math> | ||
* Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | * Für den Längenunterschied der Punkte verwendest du die <math>x</math>-Koordinaten der gleichen Punkte, die du beim Höhenunterschied gewählt hast. Wir benutzen also die Punkte <math>P(-3|\frac{9}{4})</math> und <math>Q(1|1\frac{1}{4})</math>. Dann rechnen wir wie folgt: <math>x_2-x_1=1-(-3)=4</math> | ||
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}</math> | * Für die Steigung <math>m</math> der Geraden setzt du beide Werte in die folgende Gleichung ein: <math>\frac{g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{1\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}{1-(-3)}=-\frac{1}{4}</math> | ||
* Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = -\frac{1}{4}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>g(x) = mx + b</math> ein. | * Für die Berechnung des <math>y</math>-Achsenabschnitts setzt du die Steigung <math>m = -\frac{1}{4}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>g\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
* Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>g(x) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2} </math> | * Wenn du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhältst du <math>g\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow \frac{9}{4}= -\frac{1}{4} \cdot -3+ b \Leftrightarrow \frac{9}{4} =\frac{3}{4} + b \Leftrightarrow b= \frac{6}{4}=\frac{3}{2} </math> | ||
* Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>g(x) = mx + b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4}= -\frac{1}{4} \cdot 1+ b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4} =-\frac{1}{4} + b \Leftrightarrow b= 1\frac{2}{4}=\frac{3}{2} </math> | * Wenn du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhältst du <math>g\left(x\right) = mx + b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4}= -\frac{1}{4} \cdot 1+ b \Leftrightarrow 1\frac{1}{4} =-\frac{1}{4} + b \Leftrightarrow b= 1\frac{2}{4}=\frac{3}{2} </math> | ||
* Zum Schluss setzt du <math>m = -\frac{1}{14}</math> und <math>b = \frac{3}{2}</math> in die Geradengleichung <math> g(x) = mx + b</math> ein. | * Zum Schluss setzt du <math>m = -\frac{1}{14}</math> und <math>b = \frac{3}{2}</math> in die Geradengleichung <math> g\left(x\right) = mx + b</math> ein. | ||
|2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} | |2=Lösungsweg durch Berechnung der Steigung und anschließend des y-Achsenabschnitts|3=Lösungsweg schließen}} |
Version vom 1. Dezember 2020, 09:52 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen.
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.