Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box | 1= Aufgabe 11: <span style="color: blue">Weg zum Training</span> | 2= Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur 6 km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit 4 km/h. | {{Box | 1= Aufgabe 11: <span style="color: blue">Weg zum Training</span> | 2= Johannes geht zu Fuß von zu Hause aus zur 6 km entfernten Sporthalle zum Fußballtraining. Er geht relativ konstant mit 4 km/h. Paul steht schon vor der Sporthalle. Er startet zur gleichen Zeit wie Johannes mit seinem Fahrrad und fährt ihm entgegen. Paul fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 16 km/h. Beide nehmen den selben Weg. | ||
'''Wann und wo treffen sie sich? ''' | '''Wann und wo treffen sie sich? ''' | ||
{{Lösung versteckt|1= Überlege, welche der oben genannten Werte die Steigung und welche den y-Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darstellt. Male es dir graphisch in einem Koordinatensystem auf und überlege, welche Einheit auf der x- und welche auf der y-Achse steht. Stelle dann die entsprechenden Funktionsgleichungen auf. | {{Lösung versteckt|1= Überlege, welche der oben genannten Werte die Steigung und welche den y-Achsenabschnitt der verschiedenen Funktionen darstellt. Male es dir graphisch in einem Koordinatensystem auf und überlege, welche Einheit auf der <math>x</math>- und welche auf der <math>y</math>-Achse steht. Stelle dann die entsprechenden Funktionsgleichungen auf. | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Johannes' und Pauls Weg.png|1000px]]|2=graphische Skizze|3= Skizze schließen}} | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Johannes' und Pauls Weg.png|1000px]]|2=graphische Skizze|3= Skizze schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Geschwindigkeiten der beiden Jungen stellen die Steigungen dar. Setze sie in die Funktionsgleichung <math>f(x)=mx+b</math> ein. Da Paul Johannes entgegenfährt, bedenke, dass dies eine Auswirkung auf die Steigung hat und der y-Achsenabschnitt mit der Entfernung zusammenhängt. |2= 1. Tipp zum Aufstellen der Funktionsgleichungen|3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1= Die Geschwindigkeiten der beiden Jungen stellen die Steigungen dar. Setze sie in die Funktionsgleichung <math>f(x)=mx+b</math> ein. Da Paul Johannes entgegenfährt, bedenke, dass dies eine Auswirkung auf die Steigung hat und der y-Achsenabschnitt mit der Entfernung zusammenhängt. |2= 1. Tipp zum Aufstellen der Funktionsgleichungen|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math> f_P(x)=-16 \cdot x + 6 </math> (Pauls Weg) und <math> f_J(x)=4 \cdot x </math> (Johannes' Weg) sind die gesuchten Funktionsgleichungen.|2= 2. Tipp zur Lösung der Funktionsgleichungen|3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1=<math> f_P(x)=-16 \cdot x + 6 </math> (Pauls Weg) und <math> f_J(x)=4 \cdot x </math> (Johannes' Weg) sind die gesuchten Funktionsgleichungen.|2= 2. Tipp zur Lösung der Funktionsgleichungen|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Wenn du beide Funktionsgeichungen aufgestellt hast, setze diese gleich und berechne den x- Wert.|2= Tipp zum rechnerischen Vorgehen|3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1= Wenn du beide Funktionsgeichungen aufgestellt hast, setze diese gleich und berechne den <math>x</math>- Wert.|2= Tipp zum rechnerischen Vorgehen|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Zeichne die Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem und untersuche, in welchem Punkt sich die Geraden schneiden. Damit du siehst, dass du richtig abgelesen hast, kannst du zur Kontolle den x-Wert in eine der Funktionsgleichungen setzen. |2= Tipp zur graphischen Lösung|3=Tipp schließen}}|2= Tipp|3=Tipp schließen}} | {{Lösung versteckt|1= Zeichne die Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem und untersuche, in welchem Punkt sich die Geraden schneiden. Damit du siehst, dass du richtig abgelesen hast, kannst du zur Kontolle den <math>x</math>-Wert in eine der Funktionsgleichungen setzen. |2= Tipp zur graphischen Lösung|3=Tipp schließen}}|2= Tipp|3=Tipp schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit | {{Lösung versteckt|1= Durch die oben genannten Daten stellst du die Funktionsgleichungen auf. Johannes' Geschwindigkeit 4 km/h stellt die Steigung m der Gleichung dar. Johannes ist auf dem Weg zur Trainigshalle, also ist sein Startpunkt bei 0 km. Somit erhält man für Johannes die Gleichung <math>f_J(x)=4 \cdot x </math>, wobei <math>x</math> die Zeit in Stunden verkörpert. Paul fährt ihm mit 16 km/h entgegen. Da er in entgegengesetzter Richtung zu Johannes fährt, ist die Steigung der Gleichung negativ. Du bekommst die Gleichung <math> f_P(x)=-16 \cdot x + b </math>. Da Paul an der Sporthalle startet, ist der Wert <math>b=6</math> für den <math>y</math>-Achsenabschnitt. Somit erhält man die Gleichung <math> f_P(x)=-16 \cdot x + 6 </math>. | ||
Jetzt hast du zwei Möglichkeiten: <br/> | Jetzt hast du zwei Möglichkeiten: <br/> | ||
* Du setzt die Funktionsgleichungen <math> f_P(x)</math> und <math> f_J(x) </math> gleich: <math> -16 \cdot x + 6 = 4 \cdot x </math>. Nach Umformungen erhälst du die Gleichung <math> 20 \cdot x= 6 </math>. Mit Auflösen nach x ergibt sich die Gleichung <math> x=\frac {6}{20}=\frac {3}{10}=0,3 </math>. Dieser x-Wert wird in eine der zwei Gleichungen eingesetzt. Setze x=0,3 in <math>f_J(x)=4 \cdot x </math> ein und berechne das Produkt. Das ergibt <math>f_J(0,3)=1,2 </math>. | * Du setzt die Funktionsgleichungen <math> f_P(x)</math> und <math> f_J(x) </math> gleich: <math> -16 \cdot x + 6 = 4 \cdot x </math>. Nach Umformungen erhälst du die Gleichung <math> 20 \cdot x= 6 </math>. Mit Auflösen nach <math>x</math> ergibt sich die Gleichung <math> x=\frac {6}{20}=\frac {3}{10}=0,3 </math>. Dieser <math>x</math>-Wert wird in eine der zwei Gleichungen eingesetzt. Setze <math>x=0,3</math> in <math>f_J(x)=4 \cdot x </math> ein und berechne das Produkt. Das ergibt <math>f_J(0,3)=1,2 </math>. | ||
* Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab. | * Du zeichnest beide Graphen und liest den Schnittpunkt der Geraden ab. |
Version vom 26. November 2020, 13:34 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkte von linearen Funktionen
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben / Modellierungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.