Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Tarif A:'''<br/> | '''Tarif A:'''<br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 1 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 1</math> ct/min<math>= 60</math> ct/h <br/> | Zunächst multipliziert man die 1 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 1</math> ct/min<math>= 60</math> ct/h <br/> | ||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> f_1(x)= 0,6x+ a</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>60</math> ct/h<math>= 0,6</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> f_1(x)= 0{,}6x+ a</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> f_1 </math> einsetzten und nach a auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | Wir wissen, dass die ersten 5 Stunden frei sind,d.h hier muss nur die Grundgebühr von 5€ bezahlt werden. Der Punkt <math> A (5|5) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> f_1 </math> einsetzten und nach a auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | ||
<math> f_1(5)=0,6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0,6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | <math> f_1(5)=0{,}6\cdot5+a=5 \Longleftrightarrow 3+a=5 \Longleftrightarrow a=2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif A ist also <math> f(x)= 0{,}6x+2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 5 </math> konstant <math>5</math> ist. <br/> <br/> | ||
'''Tarif B:''' <br/> | '''Tarif B:''' <br/> | ||
Zunächst multipliziert man die 0,8 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 0,8</math> ct/min<math>= 48</math> ct/h <br/> | Zunächst multipliziert man die 0,8 ct/min mit 60 min, um diesen Wert in ct/h zu haben. <math> 60</math> min <math>\cdot 0,8</math> ct/min<math>= 48</math> ct/h <br/> | ||
Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0,48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> g_1(x)= 0,48x+ b</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | Nun wandelst du diesen Wert in €/h um. <math>48 </math>ct/h<math>= 0{,}48</math> €/h. Wir kennen jetzt schon einen Teil der Funktionsgleichung.<math> g_1(x)= 0{,}48x+ b</math>, wobei a ein noch unbekannter Wert ist. <br/> | ||
Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> g_1 </math> einsetzten und nach b auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | Wir wissen, dass die ersten 10 Stunden frei sind, d.h hier muss nur die Grundgebühr von 10€ bezahlt werden. Der Punkt <math> B (10|10) </math> muss also auf dem Graphen unserer Funktionsgleichung liegen. D.h. wir können diesen Punkt nun in die Funktionsgleichung von <math> g_1 </math> einsetzten und nach b auflösen, um die ganze Funktionsgleichung zu erhalten. <br/> | ||
<math> g_1(10)=0,48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4,8+b=10 \Longleftrightarrow b=5,2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0,48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | <math> g_1(10)=0{,}48\cdot10+b=10 \Longleftrightarrow 4{,}8+b=10 \Longleftrightarrow b=5{,}2 </math>. <br/>Die Funktionsgleichung für Tarif B ist also <math> g(x)= 0{,}48x+5,2 </math>. Beachtet jedoch, dass die Funktion bis <math> x= 10 </math> konstant <math>10</math> ist. <br/> <br/> | ||
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Der Punkt <math> C(0|10) </math> ist beim Tarif B der Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse. Auch hier gilt also, dass selbst wenn Maria gar nicht im Internet surft sie dennoch <math>10</math> € bezahlen muss. <br/> | Der Punkt <math> C(0|10) </math> ist beim Tarif B der Schnittpunkt mit der <math>y</math>-Achse. Auch hier gilt also, dass selbst wenn Maria gar nicht im Internet surft sie dennoch <math>10</math> € bezahlen muss. <br/> | ||
Den Punkt <math> D(10|10) </math> kennen wir schon aus dem Teil a dieser Aufgabe. Bis zu diesem Punkt läuft die Funktion des Tarifs B konstant, da die ersten <math>10</math> Stunden frei sind.<br/> | Den Punkt <math> D(10|10) </math> kennen wir schon aus dem Teil a dieser Aufgabe. Bis zu diesem Punkt läuft die Funktion des Tarifs B konstant, da die ersten <math>10</math> Stunden frei sind.<br/> | ||
Der Punkt <math> E(26,67|18) </math> ist der Schnittpunkt der beiden Funktion <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math>. Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer. <br/> | Der Punkt <math> E(26{,}67|18) </math> ist der Schnittpunkt der beiden Funktion <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math>. Das heißt an diesem Punkt sind die Tarife für Maria gleich teuer. <br/> | ||
Der Punkt<math> F(63,33|40) </math> ist der Schnittpunkt der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>h(x)</math>. An diesem Punkt sind die beiden Tarife A und C also gleich teuer für Maria.<br/> | Der Punkt<math> F(63{,}33|40) </math> ist der Schnittpunkt der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>h(x)</math>. An diesem Punkt sind die beiden Tarife A und C also gleich teuer für Maria.<br/> | ||
Der Punkt <math> G(2,5|40)</math> ist der Schnittpunkt der Funktionen <math>g(x)</math> und <math>h(x)</math>. Die beiden Tarife sind in diesem Punkt gleich teuer. | Der Punkt <math> G(2{,}5|40)</math> ist der Schnittpunkt der Funktionen <math>g(x)</math> und <math>h(x)</math>. Die beiden Tarife sind in diesem Punkt gleich teuer. | ||
[[Datei:Handytarife Interpretation.png|700px|zentriert]] | [[Datei:Handytarife Interpretation.png|700px|zentriert]] | ||
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Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | Zunächst bestimmen wir die Stundenzahl, welche Maria pro Monat fürs surfen nutzt. Maria surft <math>2</math> h/Tag. Da ein Monat <math>30</math> Tage hat, kann man, kann man <math>30</math> und <math>2</math> multiplizieren und erhält <math>60</math> h/Monat.<br/> | ||
Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | Nun setzten wir die <math>60</math> h als <math>x</math>- Wert in die Funktionsgleichungen von <math>f(x)</math>, <math> g(x)</math> und <math>h(x)</math> ein und vergleichen das Ergebnis.<br/> | ||
<math> f(60)= 0,6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | <math> f(60)= 0{,}6\cdot60+2 =36+2=38</math><br/> | ||
<math> g(60)= 0,48\cdot60+5,2=28,8+5,2=34 </math><br/> | <math> g(60)= 0{,}48\cdot60+5{,}2=28{,}8+5{,}2=34 </math><br/> | ||
<math> h(60)= 40 </math><br/> | <math> h(60)= 40 </math><br/> | ||
Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | Da Maria circa <math>60</math> h im Monat surft wäre der Tarif B mit <math>34</math> € am günstigsten für sie. | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | Hier ist nach dem Schnittpunkt von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gefragt. Dazu setzt man die Gleichungen gleich und löst sie nach <math>x</math> auf. | ||
<math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0,6x+2=0,48x+5,2 \Longleftrightarrow 0,12x+2= 5,2 \Longleftrightarrow 0,12x= 3,2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26,6666666 </math> <br/> | <math> f(x)=g(x)\Longleftrightarrow 0{,}6x+2=0{,}48x+5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x+2= 5{,}2 \Longleftrightarrow 0{,}12x= 3{,}2 \Longleftrightarrow x= \frac{80}{3} \approx 26{,}6666666 </math> <br/> | ||
In dem Punkt <math> P\left(\frac{80}{3}|18\right)</math> sind die Tarife A und B kostengleich. | In dem Punkt <math> P\left(\frac{80}{3}|18\right)</math> sind die Tarife A und B kostengleich. | ||
|2=Lösung zu e)|3=Lösung zu e) schließen}} | |2=Lösung zu e)|3=Lösung zu e) schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
Um dies herauszufinden brauchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgleichungen <math>f(x)</math> ,<math>g(x)</math> mit <math>h(x)</math>, da f und g danach größer als h sind und somit h (also der Tarif C) dann der günstigste wäre. | Um dies herauszufinden brauchen wir die Schnittpunkte der Funktionsgleichungen <math>f(x)</math> ,<math>g(x)</math> mit <math>h(x)</math>, da f und g danach größer als h sind und somit h (also der Tarif C) dann der günstigste wäre. | ||
<math> f(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0,6x+2=40 \Longleftrightarrow 0,6x=38 \Longleftrightarrow x=\frac{190}{3}\approx 63,3333333333 </math> <br/> | <math> f(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0{,}6x+2=40 \Longleftrightarrow 0{,}6x=38 \Longleftrightarrow x=\frac{190}{3}\approx 63{,}3333333333 </math> <br/> | ||
<math> g(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0,48x+5,2=40 \Longleftrightarrow 0,48x= 34,8 \Longleftrightarrow x=\frac{145}{2}=72,5 </math> <br/> | <math> g(x)=h(x) \Longleftrightarrow 0{,}48x+5{,}2=40 \Longleftrightarrow 0{,}48x= 34{,}8 \Longleftrightarrow x=\frac{145}{2}=72{,}5 </math> <br/> | ||
Man kann also sehen, dass der Tarif A bereits bei circa <math>64</math> h teurer wird als Tarif C. Der Tarif B ist bei <math>72,5h</math> gleich teuer wie Tarif C. Also ab circa <math>73</math> h Internet Nutzung ist der Tarif C der günstigste.<br/> | Man kann also sehen, dass der Tarif A bereits bei circa <math>64</math> h teurer wird als Tarif C. Der Tarif B ist bei <math>72{,}5h</math> gleich teuer wie Tarif C. Also ab circa <math>73</math> h Internet Nutzung ist der Tarif C der günstigste.<br/> | ||
|2=Lösung zu f)|3=Lösung zu f) schließen}}| | |2=Lösung zu f)|3=Lösung zu f) schließen}}| | ||
2=Lösung|3=Lösung schließen}} | 2=Lösung|3=Lösung schließen}} | ||
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} | | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe| grün| dunkel}}}} |
Version vom 2. Dezember 2020, 07:55 Uhr
Wiederholung: Was ist eine Funktion?
Lineare Funktionen erkennen
Graph einer linearen Funktion
Bestimmung von Funktionsgleichungen
Du hast in den letzten paar Aufgaben schon die Steigung der linearen Funktion benutzt, um ihren Graphen zu zeichnen, dem Graphen zu ihrer Funktion zu zuorden oder die Funktionsgleichung mithilfe der Steigung zu berechnen. Wie du konkret die Steigung aus zwei Punkten bestimmen kannst, kannst du dir im unteren Text durchlesen.
Graphen und ihre Punkte
Schnittpunkt mit der -Achse (Nullstelle)
Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen
Anwendungsaufgaben
Löse die folgenden Aufgaben in deinem Heft.