Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen
In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema Einfache Gleichungen. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. Am Ende dieses Kapitels solltest du ...
- ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind.
- ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können.
- ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können.
- ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen:
- In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
- Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
- Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Inhaltsverzeichnis
Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in Merkkästen erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.
Ein Term ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (,
,...) und Klammern.
Beispiele sind:
oder
oder
.
Um eine Gleichung zu lösen, müssen alle Zahlen gefunden werden, für die beim Einsetzen die Gleichung erfüllt ist. Die Menge aller Lösungen wird Lösungsmenge genannt.
Beispiel:
Die GleichungAlles in der Waage
Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder
auf beiden Seiten kann ein Gleichgewicht erzielt werden. Dabei kann durch Probieren herausgefunden werden, welchen Wert
hat. Klickst du auf "neues
", wird ein neuer Wert für
bestimmt.
a) Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von , indem du auf "neues
" klickst.
b) Füge ein [zwei] weitere zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor?
c) Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten?
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Gleichungen lösen
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:
.
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle auf eine Seite der Gleichung.
Jetzt können wir wie gewohnt nach auflösen.
Probe:
a)
Probe:
b)
Probe:
c)
Ein Produkt ist dann , wenn einer der Faktoren
ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:
Probe:
d)
e)
Probe:
Zahlenrätsel
Wenn man zur Zahl das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an.
Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise:
Das Doppelte einer Zahl:
Zur Zahl das Doppelte einer Zahl addieren:
. Dies wird die linke Seite der Gleichung bilden.
Das Vierfache der gesuchten Zahl: . Dies ist die rechte Seite der Gleichung.
Wir erhalten also die Gleichung:
.
Um das gesuchte zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach
umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.
Die gesuchte Zahl ist .
Probe:
Die Mutter von Leon ist -mal so alt wie er. In
Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute?
Bezeichne mit das Alter der Mutter und mit
das Alter von Leon.
Die erste Gleichung ist
,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.
Außerdem gilt die zweite Gleichung
. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.
Setze nun in die zweite Gleichung ein:
Leon ist heute also 12 Jahre alt.
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir in die erste Gleichung ein:
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.
Probe erste Gleichung:
Probe zweite Gleichung:
Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang
Wir erhalten die Gleichung: , da insgesamt
Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden.
Diese Gleichung können wir lösen:
Probe:
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt
m.
a) Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne.
b) Eine Getränkekiste ist cm lang und
cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von
m
m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz?
a) Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet:
cm
m.
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden:
,
wobei die Höhe einer Getränkekiste in Metern und
die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable
bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können.
Jetzt wird mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet:
Probe:
b) Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:
Probe:
In dieser Gleichung gibt der Teil die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil
berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable
bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten.
Wir wissen nun also, dass Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.