Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
(19 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 16: | Zeile 16: | ||
<br /> | <br /> | ||
{{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| | {{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| | ||
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen | {{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen eingesetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z. B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>, ... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern. | {{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern. | ||
Zeile 33: | Zeile 33: | ||
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}} | Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}} | ||
| Merksatz}} | | Merksatz}} | ||
===Alles in der Waage=== | ===Alles in der Waage=== | ||
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | | {{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | | ||
Zeile 40: | Zeile 41: | ||
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst. | '''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst. | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
'''b)''' Füge ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor? | '''b)''' Die Waage steht immer noch im Gleichgewicht. Füge nun ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor? | ||
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten? | '''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten? | ||
Zeile 76: | Zeile 77: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>. | Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}} | ||
| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | ||
'''a)''' <math>a-64=5</math> | '''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht. | |||
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]] | |||
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln. | |||
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]] | |||
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\ | |||
\Leftrightarrow & & x &=2 | |||
\end{align}</math> | |||
Probe: | |||
<math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\ | |||
\Leftrightarrow & & 5 &=5 | |||
\end{align}</math> | |||
Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>. | |||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
'''b)''' <math>a-64=5</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\ | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\ | ||
\Leftrightarrow & & a &=69 \\ | \Leftrightarrow & & a &=69 \\ | ||
Zeile 94: | Zeile 115: | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''c)''' <math>3x+7=16</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\ | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\ | ||
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\ | \Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\ | ||
Zeile 108: | Zeile 130: | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen: | {{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen: | ||
Zeile 130: | Zeile 152: | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\ | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\ | ||
Zeile 141: | Zeile 163: | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\ | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\ | ||
Zeile 159: | Zeile 181: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
| Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
'''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math> | |||
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\ | |||
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\ | |||
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\ | |||
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\ | |||
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\} | |||
\end{align}</math> | |||
Probe: | |||
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3} | |||
\end{align}</math> | |||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
Zeile 236: | Zeile 283: | ||
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang=== | ===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang=== | ||
{{Box | Aufgabe 5: | {{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | | ||
[[Datei: | [[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen? | ||
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}} | ||
Zeile 319: | Zeile 366: | ||
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>. | Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>. | ||
Insgesamt finden demnach <math>3750</math> Getränkekisten auf der Lagerfläche Platz. | |||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} |
Aktuelle Version vom 10. Dezember 2020, 21:58 Uhr
Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in Merkkästen erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.
Alles in der Waage
Gleichungen lösen
Zahlenrätsel
Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang