Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben|7|Raupenfahrt | {{Aufgaben|1=7|2=Raupenfahrt | ||
Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf. | Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf. | ||
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben. | Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben. | ||
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das? | Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?}} | ||
{{LearningApp|app=pab2g1ytv17|width=100%|height=500px}} | {{LearningApp|app=pab2g1ytv17|width=100%|height=500px}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. | {{Lösung versteckt|1=Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. | ||
Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8. | Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8. | ||
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{{Aufgaben|8*|Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?! | {{Aufgaben|8*|Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?! | ||
Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. | Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. | ||
Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." | Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." | ||
Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!" | Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!" | ||
'''a)''' Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum? <br/> | '''a)''' Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum? <br/> | ||
Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere? <br/> | Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere? <br/> | ||
Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n). | Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n). }} | ||
<ggb_applet id="SM67Ex9h" width="700" height="505" /> | <ggb_applet id="SM67Ex9h" width="700" height="505" /> | ||
{{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht? | {{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht? | ||
Version vom 3. Januar 2019, 18:27 Uhr
Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale
Teil 1)
Teil 2) Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.
1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ.
2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich.
3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten.
Begründung: Durch die Verschiebung einer Funktion auf der y-Achse verändert sich nicht die Steigung,
c) Untersuchung einer Funktion
Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe.
6).
6) ist.
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein.
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.
b) Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken. Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?
6) einen Sprung.
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war.
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.