Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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===Allgemeine Hinweise zur Bearbeitung===
{{Box|1= Lernpfad: von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|2= Dieser Lernpfad bietet Dir einen Einstieg in das Thema Differenzialrechnung.
Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Die Aufgaben haben 3 unterschiedliche Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind:


<span style="color: orange">
{{Box|1= Info|2= Dieses Lernpfadkapitel bietet dir einen Überblick zum Thema Differenzialrechnung: Änderungsraten, Sekanten- und Tangentensteigung sowie deren Anwendungen.
- '''Schwierigkeitsstufe I mit gelben Titel''': leichte Verständnis- und Rechenaufgaben zum Einstieg
Zuerst erklären wir dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst du selbständig die Aufgaben bearbeiten.


<span style="color: blue">
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
- '''Schwierigkeitsstufe II mit blauen Titel''': normale, mittelschwere Aufgaben zum üben und vertiefen.
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.


<span style="color: green">
Viel Erfolg!
- '''Schwierigkeitsstufe III mit grünen Titel''': herausfordernde Aufgaben
|3=Kurzinfo}}
 
===Grundlegende Begriffe und Formeln===
 
{{Box|1= '''Beschreibung von Änderungsprozessen mit Änderungsraten'''|2=
[[Datei:Niagara bw wasserfall.png|links|rahmenlos|mini]]Der Niagara River verbindet den Eriesee mit dem Ontariosee, in den Horseshoe Falls stürzt er 57m in die Tiefe. Der Graph (schwarz) simuliert den Fall eines Steins von der Kante des Wasserfalls. Die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit ist die  Veränderung der Höhe in einem Zeitabschnitt. Verschiebe den Regler und beobachte, wie sich die durchschnittliche Geschwindigkeit verändert. Mathematisch gesehen ist die Fallgeschwindigkeit in einem Zeitabschnitt die '''durchschnitlliche Änderungsrate''' der Funktion in einem Intervall. Du ermittelst diese als Steigung der Sekante (rote Linie) zwischen 2 Punkten.
 
Wie schnell ist der Stein beim Aufprall auf die Wasseroberfläche? Verschiebe den Regler ganz nach rechts, aus dem Zeitintervall wird fast ein Zeitpunkt. Die rote Linie berührt den Graph und in diesem Punkt stimmen die Steigung des Graphen und die Steigung der roten Linie (Tangente) lokal nahezu überein. Die Steigung der Tangente beschreibt das Verhalten der Funktion im Berührungspunkt und wird als  '''lokale Änderungsrate ''' bezeichnet. In unserem Fall ist es die momentane Geschwindigkeit beim Aufprall.
 
<ggb_applet id="gr9yngqa" width="100%" height="100%" border="888888" />
 
|3= Kurzinfo}}
 
 
{{Box|1=Merke
|2=''' Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion''' <math>f(x)</math> bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall <math>[x_1, x_2]</math> und wird mit Hilfe des '''Differenzenquotienten''' berechnet:
 
<math>\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\bigtriangleup f(x)}{\bigtriangleup x}</math>


Viel Erfolg!|3= Kurzinfo}}


===Grundlegende Begriffe und Formeln===
|3=Merksatz}}
{{Box|Grundbegriffe: durchschnittliche Änderungsrate und Sekante|Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion <math>f(x)</math> bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall <math>[\tilde{x},x]</math>und wird mit Hilfe des '''Differenzenquotienten''' berechnet:


<math>\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{\bigtriangleup f(x)}{\bigtriangleup x}</math>


{{Box|1=Merke|
2= '''Die lokale Änderungsrate''' in einem Punkt nennt man '''Differenzialquotient oder Ableitung in einem Punkt'''. Man berechnet diesen als Grenzwert  (du schreibst dafür  <math>\lim</math>) der Sekantensteigungen:


[[Datei:Sekantensteigung.svg|350px|links|rahmenlos|mini]]
<math>f'(x)=\lim_{x_2 \to \ x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math>


Setzt man <math>h</math> für den Abstand von <math>x_2</math> zu <math>x_1</math> so gilt die Formel:


<math>f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>


|3= Merksatz}}


Anschaulich ist dies die '''Steigung der Sekante '''der Funktion zwischen den Punkten <math>\tilde{x}</math> und <math>x</math>, Du kennst diese Formel bereits als Berechnung der Steigung einer linearen Funktion.
===Aufgaben zum Wiederholen und Vertiefen===
Die Sekante (der Begriff bedeutet aus dem Lateinischen übersetzt die Schneidende) ist eine Gerade, die durch mindestens 2 Punkte eines Funktionsgraphen verläüft, ihn also an mind. 2 Punkten schneidet.




{{Box|1= <span style="color: orange"></span>Aufgabe 1: Durchschnittliche Änderungsrate
|2= Bestimme die durchschnittlichen Änderungsraten der Funktionen in den vorgegebenen Intervallen. Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und evtl. einen Taschenrechner.


'''a)''' <math>f(x) = \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{3}{2}</math> in dem Intervall [1; 2]
{{Lösung versteckt|1 = Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau dir die Formel in dem ersten Merkkasten an. Für <math>x_1</math> und <math>x_2</math> setze die Intervallgrenzen ein. Z.B. 2 und 3 für das Intervall [2;3] |2=Tipp|3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1 = Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt <math>\tfrac{3}{2}</math>. {{Lösung versteckt|1= Setze die Werte wie folgt in die Formel ein:  <math>\frac{f(2) - f(1)}{2-1} = \frac{\frac{1}{2}-(-1)}{2-1} = \frac{3}{2}</math>|2= Lösungsweg|3= Lösungsweg}}|2=Lösung|3=Lösung}}


'''b)''' <math>g(x) = x^3 - 0,2x - 3</math> in dem Intervall [-2; -1]
{{Lösung versteckt|1 = Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau dir die Formel in dem ersten Merkkasten an. Für <math>x_1</math> und <math>x_2</math> setze die Intervallgrenzen ein. Z.B. 2 und 3 für das Intervall [2;3] |2=Tipp|3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1 = Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 6,8. {{Lösung versteckt|1=Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein:  <math>\frac{g(-1) - g(-2)}{-1-(-2)} = \frac{-3,8-(-10,6)}{-1-(-2)} = 6,8</math>|2=Lösungsweg|3= Lösungsweg}}|2=Lösung|3=Lösung}}




'''c)''' <math>h(x) = \tfrac{1}{4}x^2</math> in dem Intervall [1,99; 2,01].


Überlege, was in dem Intervall mit der Sekante passiert.
{{Lösung versteckt|1 = Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau dir die Formel in dem ersten Merkkasten an. Für <math>x_1</math> und <math>x_2</math> setze die Intervallgrenzen ein. Z.B. 2 und 3 für das Intervall [2;3] |2=Tipp|3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1 = Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 1. {{Lösung  versteckt|1= Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: <math>\frac{h(2,01) - h(1,99)}{2,01-1,99} = \frac{1,010025-0,990025}{2,01-1,99} = 0,02:0,02 = 1</math>. |2= Lösungsweg|3=Lösungsweg}} Da das Intervall sehr klein ist, nähern sich die Schnittpunkte der Sekante mit der Funktion und die durchschnittliche Änderungsrate geht in die lokale über.|2=Lösung|3=Lösung}}


Ein Beispiel:
|Farbe= {{Farbe|orange}}


[[Datei:Bild 109 V - starke Steigung, StVO DDR 1977.svg|150px|links|rahmenlos|mini]]
|3= Arbeitsmethode}}


Das Verkehrszeichen gibt an, dass der durchschnittlicher Höhenunterschied (also die durchschnittliche Änderungsrate) auf dieser Strecke 10 Höhenmeter pro 100m Wegstrecke beträgt. Die echte Strasse selbst verläuft natürlich nicht als exakt gerade Linie mit einer konstanten Steigung.
|class}}


{{Box|1= <span style="color: orange"></span>Aufgabe 2: Übergang von durchschnittlicher zur lokalen Änderungsrate|2= Du benötigst für diese Aufgabe Papier und Stifte für Notizen.


{{Box|Grundbegriffe: lokale Änderungsrate und Tangente|Um den Unterschied zwischen lokaler und durchschnittlicher Änderungsrate zu verstehen, denke über folgendes Beispiel nach:
In dem Applet ist der Graph der Funktion <math>f(x)=0,1\cdot x^2 +1</math> dargestellt.


Ein Autofahrer fährt durch eine Baustelle mit einer Geschwindikeitsbegrenzung von 60km/h. Er merkt sich den Zeitpunkt und Kilometerstand bei der Einfahrt und beim Verlassen der Baustelle und rechnet nach, dass seine durchschnittliche Geschwindigkeit unter 60km/h war. Trotzdem wird er in der Baustelle zum Zeitpunkt x von der mobilen Geschwindigkeitsüberwachnung der Polizei fotografiert. Diese erfasst nämlich die Geschwindigket (also die Änderung von <math>f(x)</math>)an einem bestimmten Punkt, also lokal oder momentan. Diese momentane Geschwindigkeit kann sich, wie in diesem Fall, deutlich von der durchschnittlichen unterscheiden.
Hinweis: GeoGebra verwendet bei Dezimalzahlen einen Punkt statt ein Komma, also <math> 0,1 </math> wird dort als <math> 0.1 </math> geschrieben.


Um die lokale Änderungsrate zu bestimmen, verkleinern wir den Abstand zwischen <math>\tilde{x}</math>und <math>x</math> , wählen also <math>\tilde{x}</math> immer näher bei <math>x</math> (dafür schreibst Du <math>\tilde{x}\longrightarrow x</math>). Dabei geht die Sekante in die '''Tangente''' über, eine Gerade also, die den Funktionsgraphen in genau einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist genau die (lokale) Änderungsrate der Funktion in diesem Punkt.  
a) Verändere mithilfe des Schiebereglers für <math>\Delta x</math> den Abstand zwischen den Punkten <math>A </math> und <math> B </math> und notiere für
<math> \Delta x = 3,5 ; \Delta x =3,0 ; \Delta x =2,5;\Delta x = 2,0; \Delta x =1,5; \Delta x =1,2; \Delta x = 1,1 </math> und <math> \Delta x =0,5 </math> die Steigung <math> k </math> der Sekanten durch die Punkte <math>A </math> und <math> B </math>.


[[Datei:FunktionAbleitung.svg|250px|links|rahmenlos|mini]]
b) Kannst du damit die Steigung der Tangente, also die lokale Änderungsrate an einem Punkt ermitteln?
{{Lösung versteckt|1 = Schiebe den Regler so weit, dass <math>\Delta x = 0 </math> ist. Die Schnittpunkte nähern sich also, die Sekante geht in die Tangente über und somit entsteht aus der durchschnittlichen Änderungsrate am Grenzübergang die lokale.|2= Tipp|3=Tipp}}


Die lokale Änderungsrate nennt man '''Differenzialquotient oder Ableitung''' <math>f'(x)</math>und berechnet diese als '''Grenzwert'''  (Du schreibst dafür <math>\lim</math>) der Sekantensteigungen:
c) Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion <math>f(x) =0,1 \cdot x^2</math> durch. Was stellst du fest? Ist es überraschend?


<math>f'(x)=\lim_{\tilde{x} \to \ x}\frac{f(\tilde{x})-f(x)}{\tilde{x}-x}</math>  
<ggb_applet id="KMv29tYV" width="100%" height="100%" border="888888" />


Setzt man <math>h</math> für den Abstand von <math>\tilde{x}</math> zu <math>x</math> so gilt die Formel:
{{Lösung versteckt|1 = Die Steigung der Tangenten beider Funktionen im Punkt <math> A </math> beträgt  <math>m=0,6</math>. Die notierten Werte der durchschnittlichen Änderungsraten nähern sich dieser Zahl an, wenn sich <math>\Delta x</math> der Zahl  0 nähert. Das entspricht genau der Definition der Tangente als Grenzwert der Sekantensteigungen. Der gleiche Wert für die zweite Funktion sollte auch nicht überraschen, denn diese ist die gleiche Funktion, lediglich um 1 nach unten verschoben. |2=Lösung|3=Lösung}} |Farbe= {{Farbe|orange}}


<math>f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
|3= Arbeitsmethode}}
{{Box|1= <span style="color: orange"></span> Aufgabe 3: Schlittenfahrt|2= 
[[Datei:Kinder auf einem Schlitten.JPG|links|rahmenlos]]
 
Im kalten Winter unter idealen Bedingungen (keine Reibung, kein hektisches Lenken und kein unnötiges Bremsen) schlitterst Du einen Hang mit 5 % Gefälle hinab.


|class}}
Der von deinem Schlitten zurückgelegte Weg wird annähernd durch die Funktion
<math>w(t) = \tfrac{1}{4}t^2</math> beschrieben. Dabei steht <math>t</math> für die Zeit nach dem Start in Sekunden und <math>w(t)</math> für die seit dem Start zurückgelegte Strecke in Metern.
100m weit von deinem Startpunkt entfernt steht auf der Schräge dein Freund.


===Aufgaben der Schwierigkeitsstufe I===
'''''a) Wann fährst du an deinem Freund vorbei?'''''
{{Box|1=<span style="color: orange">1. Aufgabe. Überprüfe ob Du alles verstanden hast</span>|2=


a) Ordne die Begriffe und Abbildungen richtig zu, in dem Du die auf das rechte oder linke Feld ziehst. {{LearningApp|app=10636537}}
{{Lösung versteckt|1= Hier kannst du mit dem Funtkionsterm arbeiten. Die Entfernung bis zu deinem Freund, also 100 ist der Wert der Funktion zum gesuchten Zeitpunkt <math>t</math>. Stelle mit Hilfe des Funktionsterms eine Gleichung auf, mit <math>t</math> als Variable.
b) Erstelle in Deinem Heft ein MindMap zu dem Thema des Lernpfades. Nutze dafür die Begriffe und Darstellungen aus dem Teil a) dieser Aufgabe|3=Üben}}
|2= Tipp|3=Tipp}}


{{Box|1= <span style="color: orange">2. Aufgabe: Bestimme die durchschnittliche Änderungsrate auf dem vorgegebenen Intervall</span>|2= Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und evtl. einen Taschenrechner.
{{Lösung versteckt|1= <math>100 = \tfrac{1}{4}t^2</math>


{{Lösung versteckt|1 = Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau Dir noch mal den Infoblock an und nutze die angegebene Formel. Für <math>\tilde{x}</math> und <math>x</math> setze die Intervallgrenzen ein. Z.b. 2 und 3 für das Intervall [2;3] |2=Tipp|3=Tipp}}
<math>\Leftrightarrow</math><math>t^2 = 100 \cdot 4</math>


'''a)''' Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = x^2 </math> auf dem Intervall [0; 2]
<math>\Leftrightarrow</math><math>t= \pm 20</math>
{{Lösung versteckt|1 = Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 2. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein:  <math>\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{f(2) - f(0)}{2-0} = \frac{4-0}{2-0} = 2</math>|2=Lösung|3=Lösung}}


'''b)''' Gegeben ist die Funktion <math>h(x) = \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{3}{2}</math> auf dem Intervall [1; 2]
Den Wert <math> t = -20 </math> können wir in dem Sachzusammenhang verwerfen (du sitzt schließlich auf dem Schlitten, nicht in der Zeitmaschine), also fährst du <math>20 s </math> später an deinem Freund vorbei.|2= Lösung|3= Lösung}}
{{Lösung versteckt|1 = Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt <math>\tfrac{3}{2}</math>. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein:  <math>\frac{h(x) - h(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{h(2) - h(1)}{2-1} = \frac{\frac{1}{2}-(-1)}{2-1} = \frac{3}{2}</math>|2=Lösung|3=Lösung}}


'''c)''' Gegeben ist die Funktion <math>g(x) = x^3 - 0,2x - 3</math> auf dem Intervall [-2; -1]
'''''b) Welche Geschwindgkeit hat dein Schlitten zu diesem Zeitpunkt?'''''
{{Lösung versteckt|1 = Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 6,8. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein:  <math>\frac{g(-1) - g(-2)}{-1-(-2)} = \frac{-3,8-(-10,6)}{-1-(-2)} = 6,8</math>|2=Lösung|3=Lösung}}
{{Lösung versteckt|1= Die Geschwindigkeit wird als <math>\frac{Strecke}{Zeit}</math> berechnet. Die Geschwindigkeit steht also in dieser Aufgabe für die Änderungsrate. Überlege zuerst, nach welcher Änderungsrate hier gefragt wird. Die Begriffe Strecke oder Zeitabschnitt stehen für durchschnittliche Veränderungen, dagegen werden mit Begriffen wie "zum Zeitpunkt" oder "im Moment" lokale Änderungsrate bezeichnet.|2= Tipp|3=Tipp}}


{{Lösung versteckt |1= Du fährst mit einer Geschwindigkeit von <math> 10 \frac{m}{s} </math> an deinem Freund vorbei. Im Teil a) hast du berechnet, dass du nach <math> 20 s </math> an deinem Freund vorbei schlitterst. Es gibt nun 2 Möglichkeiten die Geschwindigkeit an dieser Stelle zu berechnen. {{Lösung versteckt|1= Berechne  den Differentialquotient im <math>t= 20</math>. Die Formel dazu findest du im zweiten Merkkasten:
<math>\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>


'''d)''' Gegeben ist die Funktion <math>k(x) = \tfrac{1}{4}x^2</math> auf dem Intervall [1,99; 2,01] Überlege, was hier aus dem Differenzenquotient wird?
<math>\lim_{h \to \ 0}\frac{f(20+h)-f(20)}{h}</math>
{{Lösung versteckt|1 = Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 1. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: <math>\frac{k(x) - k(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{k(2,01) - k(1,99)}{2,01-1,99} = \frac{1,010025-0,990025}{2,01-1,99} = 0,02:0,02 = 1</math>. Da das Intervall sehr klein ist, nähert sich der Differenzenquotient dem Differentialquotient.|2=Lösung|3=Lösung}}


|3= Üben}}
<math>= \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}(20 + h)^2 - \tfrac{1}{4}\cdot 20^2}{h} </math>


<math>= \lim_{h \to \ 0} \frac{100 + 10h + \tfrac{1}{4}h^2 - 100}{h} </math>


{{Box|1= <span style="color: orange">3. Aufgabe: von durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate</span>|2= Du benötigst für diese Aufgabe Papier und Stifte, um Notizen zu machen.
<math>= \lim_{h \to \ 0} \frac{h (10 + \tfrac{1}{4}h)}{h} </math>


In dem Applet ist der Graph der Funktion f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.
<math>= \lim_{h \to \ 0} (10 + \tfrac{1}{4}h) </math>


* Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.
<math>= 10 \tfrac{m}{s}</math>
* Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2;  1,1 und 0,5 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B.
* Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?
{{Lösung versteckt|1 = um die Vermutung zu überprüfen, schiebe den Regler so weit, dass Δx=0 ist|2=Hinweis|3=Hinweis}}


* Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch. Was stellst Du fest? Ist es überraschend?
Im letzten Rechenschritt überlege, was mit dem Ausdruck <math>(10 + \tfrac{1}{4}h)</math> passiert, wenn <math>h = 0</math> ist.|2=Lösungsweg 1|3= Lösungsweg 1}}
{{Lösung versteckt|1= Wenn du bereits die Potenzregel zur Berechnung der Ableitungen kennst, so kannst du die momentane Geschwindigkeit als Wert der Ableitung an dieser Stelle (hier für <math>t=20</math>) berechnen:
<math>f'(20)= \tfrac{1}{4}\cdot2\cdot20 = 10</math>|2=Lösungsweg 2|3=Lösungsweg 2}} |2= Lösung|3= Lösung}}


<ggb_applet id="KMv29tYV" width="800" height="580" border="888888" />


{{Lösung versteckt|1 = 'Die Steigung der Tangenten beider Funktionen beträgt im Punkt A m=0,6. Die notierten Werte der durchschnittlichen Änderungsraten nähern sich dieser Zahl an, wenn das Intervall Δx sich der Zahl  0 nähert. Das entspricht genau der Definition der Tangente als Grenzwert der Sekantensteigungen. Der gleiche Wert für die zweite Funktion sollte auch nicht überraschen, denn diese ist die gleiche Funktion, lediglich um 1 nach unten verschoben. |2=Lösung|3=Lösung}}


|3= Üben}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}


===Mittelschwere Aufgaben===
{{Box|1=<span style="color: blue"></span>Aufgabe 4: Überprüfe, ob Du alles verstanden hast|2=


===Aufgaben der Schwierigkeitsstufe II===
'''''Ordne die Begriffe und Abbildungen richtig zu, indem Du sie auf das rechte oder linke Feld ziehst. '''''{{LearningApp|app=10636537|width=100%|height=600px}}
{{Lösung versteckt|1= Die Begriffe "im Intervall", "zwischen 2 Punkten" oder "Sekante" deuten auf die durchschnittliche Änderungsrate hin. Dagegen deuten "zum Zeitpunkt" oder "Tangente" auf lokale Änderung. Zugehörige Formeln findest du in den Merkkästen.|2=Tipp|3=Tipp}}


|3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1= <span style="color: blue">4. Aufgabe: Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die lokale Änderungsrate im vorgegebenen Punkt</span>|2= Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.
{{Box|1= <span style="color: blue"></span>Aufgabe 5: Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die lokale Änderungsrate im vorgegebenen Punkt|2= Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.


Gegeben sind die Funktionen:
Gegeben sind die Funktionen:


*<math>f(x)=\tfrac{1}{2}x^2+1</math> und der Punkt   '''''(2; f(2))'''''
*<math>f(x)=\tfrac{1}{2}x^2+1</math> und der Punkt <math> (2| f(2)) </math>
 
*<math>h(x)=x^3-1</math> und der Punkt  <math> (1| h(1))</math>.
 
'''''a) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x) und h(x) und skizziere die Tangenten in den angegebenen Punkten. '''''
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Loesung 5a Funktion f.png|1200px|zentriert|rahmenlos]]|2=Skizze f(x)|3=Skizze f(x)}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Loesung 5a Funktion h.png|1200px|zentriert|rahmenlos]]|2=Skizze h(x)|3=Skizze h(x)}}
 
'''''b) Bestimme die Steigung der Funktion im gegebenen Punkt durch Ablesen der Tangentensteigung.'''''


*<math>h(x)=x^3-1</math> und der Punkt '''''(1; h(1))'''''
{{Lösung versteckt|1 = Erinnerst du dich, dass die Steigung der Funktion in einem Punkt mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt übereinstimmt? Für das Ablesen der Tangentensteigung suche dir am besten ein Intervall zwischen 2 benachbarten ganzen Zahlen, deren Funktionswerte gut abzulesen sind. Steigungsdreieck ist hier das Stichwort. |2=Tipp|3=Tipp}}


'''a)''' Zeichne die Graphen der Funktionen '''''f(x)''''' und '''''h(x) '''''sowie nach Augenmaß die Tangenten in den angegebenen Punkten. Bestimme die Steigung der Funktion im gegebenen Punkt durch Ablesen der Tangentensteigung.  
{{Lösung versteckt|1 = Die Tangente der Funktion <math>f(x)</math> hat an der vorgegebenen Stelle Steigung <math>m=2</math>. Die Tangente der Funktion <math>h(x)</math> hat an der Stelle 1 die Steigung <math>m=3</math> Wie komme ich zu meiner Lösung? Beide Steigungen sind am einfachsten im Intervall <math>[1; 2]</math> abzulesen
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Steigungf.png|1200px|zentriert|rahmenlos]]|2=Steigungsdreieck für f(x)|3=Steigungsdreieck für f(x)}}


{{Lösung versteckt|1 = Erinnerst Du dich, dass die Steigung der Funktion in einem Punkt mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt übereinstimmt? Für das Ablesen der Tangentensteigung suche Dir am besten ein Intervall zwischen 2 benachbarten ganzen Zahlen, deren Funktionswerte gut abzulesen sind. Steigungsdreieck ist hier das Stichwort. |2=Tipp|3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Steigungsdreieckf.png|1200px|zentriert|rahmenlos]]|2=Steigungsdreieck für h(x)|3=Steigungsdreieck für h(x)}}


{{Lösung versteckt|1 = Die Tangente der Funktion f(x) hat an der vorgegebenen Stelle Steigung m=2. Die Tangente der Funktion h(x) hat an der Stelle 1 die Steigung m=3 Wie komme ich zu meiner Lösung? Beide Steigungen sind am einfachsten im Intervall [1; 2] abzulesen|2=Lösung|3=Lösung}}


'''b)''' Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate der jeweiligen Funktion im vorgegebenen Punkt. Vergleiche Deine Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Teil a).
|2=Lösung|3=Lösung}}
 
'''''c) Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate der jeweiligen Funktion im vorgegebenen Punkt. Vergleiche deine Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Teil b).'''''
{{Lösung versteckt|1 = Die lokale Änderungsrate im vorgegebenem Punkt berechnest Du am besten mit dieser Formel: <math>f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>.   
{{Lösung versteckt|1 = Die lokale Änderungsrate im vorgegebenem Punkt berechnest Du am besten mit dieser Formel: <math>f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>.   
Hier entspricht die Steigung dem Wert der Ableitung an der vorgegebenen Stelle.
Hier entspricht die Steigung dem Wert der Ableitung an der vorgegebenen Stelle.


Für die Funktion f(x) rechnest Du also:
Für die Funktion <math>f(x)</math> rechnest du also:


<math>m= \lim_{h \to \ 0}\frac{\tfrac{1}{2}(2+h)^2+1-\tfrac{1}{2}\times2^2-1}{h} = \lim_{h \to \ 0}\frac{2 + 2h + 0,5h^2-2}{h}= \lim_{h \to \ 0}(2+0,5h) = 2</math> , wenn Du h=0 einsetzt.
<math>m= \lim_{h \to \ 0}\frac{\tfrac{1}{2}(2+h)^2+1-\tfrac{1}{2}\cdot2^2-1}{h} = \lim_{h \to \ 0}\frac{2 + 2h + 0,5h^2-2}{h}= \lim_{h \to \ 0}(2+0,5h) = 2</math> , wenn du <math>h=0</math> einsetzt.


Für die Funktion h(x) rechnest Du:
Für die Funktion <math>h(x)</math> rechnest du:


<math>m=\lim_{h \to \ 0} \frac{(1+h)^3-1-1^3+1}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{1+3h+3h^2+h^3-1}{h} = \lim_{h \to \ 0} (3+ 3h + h^2) = 3</math>
<math>m=\lim_{h \to \ 0} \frac{(1+h)^3-1-1^3+1}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{1+3h+3h^2+h^3-1}{h} = \lim_{h \to \ 0} (3+ 3h + h^2) = 3</math>


Wenn Du sauber gezeichnet und abgelesen hast, sind die Antworten in den Teilen a) und b) gleich.|2=Lösung|3=Lösung}} |3= Üben}}
Wenn du sauber gezeichnet und abgelesen hast, sind die Antworten in den Teilen b) und c) gleich. Die Steigung der Tangente einer Funktion ist also genau die lokale Änderungsrate der Funktion in der kleinsten Umgebung um den Berührungspunkt mit der Tangente. |2=Lösung|3=Lösung}} |3= Arbeitsmethode}}


{{Box|1= <span style="color: blue">5. Aufgabe: Anwendung in der Physik</span>|2= Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und einen Taschenrechner.
{{Box|1= <span style="color: blue"></span>Aufgabe 6: Anwendung in der Physik|2= Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und einen Taschenrechner.
[[Datei:Nagasaki 1945 - Before and after (adjusted).jpg|links|thumb|Nagasaki, 1945 - bevor and after]]
[[Datei:Nagasaki 1945 - Before and after (adjusted).jpg|mini|links|Nagasaki 1945 - vor und nach der atomaren Explosion]]
Die Verbreitung der Schockwelle einer atomaren Explosion kann man annähernd mit folgender Funktion beschreiben:
Die Verbreitung der Schockwelle einer atomaren Explosion kann man annähernd mit folgender Funktion beschreiben:
  <math>R(t)=1,6t^2 + 3,2t</math>
  <math>R(t)=1,6t^2 + 3,2t</math>


Dabei steht die Variable t für die Zeit nach der Explosion, gemessen in Sekunden,  und die abhängige Variable R für den Radius der Verbreitung gemessen in km.   
Dabei steht die Variable <math>t</math> für die Zeit nach der Explosion, gemessen in Sekunden,  und die Funktion <math> R(t)</math> für den Radius der Verbreitung gemessen in Kilometern.   


a) Berechne die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit der atomaren Explosion in folgenden Zeitabschnitten:
'''''a) Berechne die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>V</math> der atomaren Explosion in folgenden Zeitabschnitten:'''''
* ersten 3 Sekunden nach der Explosion
* ersten drei Sekunden nach der Explosion
* ersten 10 Sekunden nach der Explosion  
* ersten zehn Sekunden nach der Explosion  
* im Zeitintervall zwischen der 7. und der 10. Sekunde
* Im Zeitraum von 7 bis 10 Sekunden nach der Explosion.






{{Lösung versteckt|1 = Die durchschnittliche Steigung der Funktion in einem Intervall wird als Differenzenquotient <math>\frac{\bigtriangleup R(t)}{\bigtriangleup t}</math> berechnet, also hier in diesem Fall als <math>\frac{Strecke}{Zeit}</math>|2=Hinweis|3=Hinweis}}
{{Lösung versteckt|1 = Die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit ist genau die Veränderung (also die Steigung oder die Änderungsrate) der Funktion in einem Zeitabschnitt. Die Steigung der Funktion in einem Intervall wird als Differenzenquotient <math>\frac{\bigtriangleup R(t)}{\bigtriangleup t}</math> berechnet, also hier in diesem Fall als <math>\frac{Strecke}{Zeit}</math>|2=Tipp|3=Tipp}}


{{Lösung versteckt|1 = Im Teil a) wird nach dem Differenzenquotient gefragt, denn Du mit der Formel : <math>\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}</math> berechnest.
{{Lösung versteckt|1 = Im Teil a) wird nach dem Differenzenquotient gefragt, den du mit der Formel : <math>\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}</math> berechnest.
Für die ersten 3 Sekunden heißt im Intervall [0; 3],somit:
Für die ersten 3 Sekunden heißt im Intervall <math>[0; 3]</math>,somit ergibt sich:
<math>\oslash V= \frac{R(3)-R(0)}{3-0} = \frac{1,6\times3^2 + 3,2\times3-0}{3} = \frac{24}{3} = 8</math>km/s
<math>V= \frac{R(3)-R(0)}{3-0} = \frac{1,6\cdot(3^2) + 3,2\cdot3-0}{3} = \frac{24}{3} = 8</math> <math>\frac{km}{s}</math>.
Die Lösung für die ersten 10 Sekunden lautet : 19,2 km/s. Im Zeitintervall zwischen der 7. und der 10. Sekunde beträgt die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit : 30,4 km/s
Die Lösung für die ersten 10 Sekunden lautet : <math>19,2 \frac{km}{s}</math>. Im Zeitintervall zwischen der 7. und der 10. Sekunde beträgt die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>30,4 \frac{km}{s}</math>.


|2=Lösung|3=Lösung}}
|2=Lösung|3=Lösung}}


'''b)'''Berechne die Geschwindigkeit der Ausbreitung im angegebenen Zeitpunkt:
'''''b) Berechne die Geschwindigkeit der Ausbreitung im angegebenen Zeitpunkt:'''''
* zweite Sekunde nach Explosion
* zweite Sekunde nach der Explosion
* zehnte Sekunde nach Explosion
* zehnte Sekunde nach der Explosion


{{Lösung versteckt|1 = hier ist nach der momentanen Geschwindigkeit gefragt. Um welche Änderungsrate handelt es sich? Welche Berechnungsformel hattest Du bereits in der Aufgabe 4 benutzt?|2=Hinweis|3=Hinweis}}
{{Lösung versteckt|1 = Hier ist nach der momentanen Geschwindigkeit gefragt. Stelle dir also die Frage, ob es um die durchschnittliche oder lokale Änderungsrate der Funktion geht. Vergleiche mit dem Teil a). Die entsprechende Berechnungsformeln findest du in Merkkästen am Anfang des Kapitels.|2=Tipp|3=Tipp}}


{{Lösung versteckt|1 = Wird nach der Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt gefragt, so handelt es sich um die lokale Änderungsrate, Du musst also den Differentialquotienten berechnen. Die Formel hast Du bereits in der Aufgabe 4 benutzt.
{{Lösung versteckt|1 = Wird nach der Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt bei einer Weg-Zeit-Funktion gefragt, so handelt es sich um die lokale Änderungsrate. Der Differntialquotient ist also geeignet.  
Für die Geschwindigkeit in der zweiten Sekunde rechnest Du also:
Für die Geschwindigkeit in der zweiten Sekunde rechnest Du also:
  <math>R'(2)=\lim_{h \to \ 0}\frac{R(2+h)-R(2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to \ 0} \frac{1,6 (2+h)^2+3,2\times(2+h)-1,6\times4-3,2\times2}{h} =\lim_{h \to \ 0} (6,4 + 1,6h +3,2) = 8,6</math> km/s.
  <math>R'(2)=\lim_{h \to \ 0}\frac{R(2+h)-R(2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to \ 0} \frac{1,6 (2+h)^2+3,2\cdot(2+h)-1,6\cdot4-3,2\cdot2}{h} =\lim_{h \to \ 0} (6,4 + 1,6h +3,2) = 8,6</math> <math> \frac{km}{s} </math>.
Die momentane Ausbreitungsgeschwindigkeit in der Sekunde 10 beträgt bereits : 35,2 km/s  
Die momentane Ausbreitungsgeschwindigkeit in der Sekunde 10 beträgt bereits <math> 35,2 \frac{km}{s} </math>.  


|2=Lösung|3=Lösung}}
|2=Lösung|3=Lösung}}


|3= Üben}}
|3= Arbeitsmethode}}


===Aufgaben der Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|1=<span style="color: blue"></span>Aufgabe 7: Änderungsraten im Sachkontext|2=


{{Box|1= <span style="color: green">6. Aufgabe: Achterbahn </span>|2= Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.
{{LearningApp|app=10938377|width=100%|height=600px}}
{{Lösung versteckt|1= Überlege zuerst, welche Begriffe dem <math>x</math>-Wert und dem <math>y</math>-Wert zuzuordnen sind. Was hängt also wie von einander ab?
 
Zum Beispiel hängt die zurückgelegte Strecke von der Fahrzeit ab. Damit kann schon einmal die Funktion beschrieben werden. Die Formeln für durchschnittliche und momentane (lokale) Änderungsraten findest du in den Merkkästen. |2=Tipp|3=Tipp}}
|3= Arbeitsmethode}}
 
===Knobelaufgaben===
 
{{Box|1= <span style="color: green"></span>Aufgabe 8: Achterbahn |2= Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.


[[Datei:Efteling rollercoaster.jpg|links|thumb|Efteling]]  
[[Datei:Efteling rollercoaster.jpg|links|thumb|Efteling]]  
Zeile 183: Zeile 237:
Ein Teil der Achterbahn lässt sich durch den Graphen der Funktion: <math>f(x) = \tfrac{1}{4}x^2 + 1</math> beschreiben.
Ein Teil der Achterbahn lässt sich durch den Graphen der Funktion: <math>f(x) = \tfrac{1}{4}x^2 + 1</math> beschreiben.


'''a)''' Zeichne den Graphen der Funktion '''''f(x)''''' .Vervollständige folgende Tabelle, in dem Du in den angegebenen Punkten nach Augenmaß Tangenten zeichnest und deren Steigungen m durch Ablesen bestimmst.
'''a)''' Zeichne den Graphen der Funktion <math>f(x)</math>. Notiere folgende Tabelle auf einem Blatt Papier und vervollständige sie, indem du an den angegebenen Stellen die Tangenten skizzierst und deren Steigungen <math>m</math> durch Ablesen bestimmst.


[[Datei:Tabelle 1.png|550 px|zentriert|rahmenlos|mini]]


[[Datei:Tabelle 1.png|550 px|zentriert|rahmenlos|mini]]
 
{{Lösung versteckt|1 = [[Datei:Tabelle Loesung.png|550 px|zentriert|rahmenlos|mini]]
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graphischdifferenzieren.png|1200px|zentriert|rahmenlos]]|2=Skizze|3=Skizze}}
|2=Lösung|3=Lösung}}
 
 
'''b)''' Da es zu jedem Punkt nur eine Tangente gibt, ist die Zuordnung <math>m \longmapsto x</math> eine Funktion <math>m(x).</math> Betrachte die Wertepaare in der Tabelle bei Teil a). Die Funktion gibt für jeden Wegpunkt der Achterbahn an, ob diese hoch- oder runterfährt und wie steil die jeweiligen Steigungen sind.
 
Stelle die Gleichung der Funktion <math> m(x) </math> auf und zeichne diese in dein Koordinatensystem.
{{Lösung versteckt|1= Für alle Wertepaare gilt, dass  der Wert <math>m</math> ein Vielfaches von <math>x</math> ist, wobei dieser Faktor eine feste Zahl ist. Solche Zuordnungen nennt man linear.|2=Tipp|3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1 = Die Funktionsgleichung lautet: <math>m(x) = \tfrac{1}{2} x</math>. Denn <math>-1 = 0,5 \cdot (-2)</math> oder <math>1,5 = 0,5\cdot 3</math>. Diese Funktion gibt die lokale Steigungsänderung der Achterbahn in Abhängigkeit vom Streckenpunkt an. Das hast du beim Skizzieren der Tangenten sicherlich bereits vermutet. Da die '''lokalen''' Änderungsraten bestimmt wurden, ist diese Funktion die Ableitungsfunktion von <math>f(x)</math>. Dieses Verfahren nennt man graphisches Differenzieren. Im Teil c) kannst du diese Behauptung rechnerisch überprüfen.|2= Lösung|3=Lösung}}
 
'''c)''' Wie steil ist die Steigung der Achterbahn an einer von dir gewählten Stelle und fährt sie an dieser auf- oder abwärts? Gebe eine Funktion an, die die Steigung an einer beliebigen Stelle berechnet und vergleiche dein Ergebnis mit dem Ergebnis von Teil b).
{{Lösung versteckt|1= Berechne den Differentialquotienten von <math>f(x) = \tfrac{1}{4} x^2 + 1</math> in einem beliebigen Punkt. |2=Tipp|3=Tipp}}
{{Lösung versteckt|1 = Der Differentialquotient lässt sich wie folgt berechnen: <math>f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}(x +h)^2 + 1 - \tfrac{1}{4}x^2-1}{h} =  \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}x^2 +\tfrac{1}{2} xh+\tfrac{1}{4} h^2- \tfrac{1}{4}x^2}{h} =  \lim_{h \to \ 0} ( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}h) = \tfrac{1}{2}x </math>.
 
Das ist die gleiche Funktion wie beim graphischen Differenzieren im Teil b. Die Ableitung ist also die Steigung der Tangente der Funktion in einem bestimmtem Punkt. In diesem Fall kannst du damit die Steigung der Achterbahn, sowie ob diese auf oder abfährt an jedem Streckenpunkt schnell berechnen. |2=Lösung|3=Lösung}}|Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}} |3= Arbeitsmethode}}
 
{{Box|1= <span style="color: green"></span> &#x2B50;Aufgabe 9: Tangenten für Funktionenschar |2= Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.
 
Gegeben ist eine Funktionenschar durch die Gleichung <math>f_t(x) = x^3 - 3t^2x </math> mit  <math>t>0</math>
 
'''a)''' Für welches <math>t</math> ist <math> T(x) = -x </math>
die Tangente im Ursprung?
 
 
{{Lösung versteckt|1 = Die Tangente im Ursprung hat die Vorschrift <math>T(x) = mx</math>. Überlege, was die Steigung der Tangente <math>m</math> mit der Änderungsrate und der Ableitung zu tun haben. Du suchst eine Tangente mit der Steigung <math>m=-1</math>.|2=Tipp|3=Tipp}}
 
{{Lösung versteckt|1 = 1) Berechne den Wert der ersten Ableitung der Funktionenschar an der Stelle <math>x=0</math>:
 
<math>m= f' (0) = -3t^2</math>.
 
Also haben die Tangenten durch den Ursprung die Formel <math>T_t(x) = -3t^2x</math> mit den Steigungen <math>m_t = -3t^2</math>.
 
2) Wir suchen die Tangente <math>T_t(x)</math> mit der Steigung <math>m=-1</math>:
 
<math>- 1 = -3t^2</math>
 
<math>\Leftrightarrow</math><math>t=\pm\sqrt{\tfrac{1}{3}}</math>
 
 
3) Berücksichtige, dass laut der Aufgabe <math>t>0</math> gilt. Somit ist für <math>f_\sqrt{\left ( \frac{1}{3} \right )}(x)=x^3-x</math> die Tangente im Ursprung <math>T(x) = -x </math>. Diese Funktion ist blau gefärbt.
[[Datei:Geogebra-exportfunktionenshar.png|1200px|zentriert|rahmenlos]]
|2= Lösung|3=Lösung}}
 
'''b)''' Untersuche, an welchen Stellen die Funktionen der Schar eine waagerechte Tangente haben.
 
{{Lösung versteckt|1 = Für waagerechte Tangenten gilt, dass die Steigung 0 ist. Die Steigung der Tangenten ist der Wert der Ableitung an dieser Stelle. Du suchst hier also, für welche Werte von <math>x</math> in Abhängigkeit von <math>t</math> gilt: <math>f_t'(x) = 0</math> .
|2= Tipp|3=Tipp}}




{{Lösung versteckt|1 = [[Datei:Tabelle Loesung.png|550 px|zentriert|rahmenlos|mini]]|2=Lösung|3=Lösung}}


{{Lösung versteckt|1 =
<math>f'(x) = 0</math>


'''b)''' Da es zu jedem Punkt nur eine Tangente gibt, so ist die Zuordnung <math>m \longmapsto x</math> eine Funktion m(x). Betrachte die Wertepaare in der Tabelle Teil a). Stelle die Gleichung der Funktion auf und zeichne diese in dein Koordinatensystem.
<math>\Leftrightarrow</math><math>3x^2 - 3t^2 = 0</math>  


{{Lösung versteckt|1 = Die Funktionsgleichung lautet: <math>m(x) = \tfrac{1}{2} x</math>. Denn <math>-1 = 0,5 \times (-2)  oder  1,5 = 0,5\times 3</math> Das Verfahren, dass Du hier geübt hast nennt man graphisches Differenzieren und die Funktion ist die Ableitungsfunktion von f(x). Im Teil c) kannst Du diese Behauptung rechnerisch überprüfen|2= Lösung|3=Lösung}}
<math>\Leftrightarrow</math><math> 3x^2 = 3t^2</math>  


'''c)''' Berechne den Differentialquotient (Ableitung) von <math>f(x) = \tfrac{1}{4} x^2 + 1 </math>in einem beliebigen Punkt. Vergleiche dein Ergebnis mit dem Ergebnis von Teil b)
<math>\Leftrightarrow</math><math> x = \pm t</math>  
{{Lösung versteckt|1 = Wir benutzen wie bereits in den Aufgaben davor die h-Formeln für den Differentialquotient. <math>f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}(x +h)^2 + 1 - \tfrac{1}{4}x^2-1}{h} =  \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}x^2 +\tfrac{1}{2} xh+\tfrac{1}{4} h^2- \tfrac{1}{4}x^2}{h} =  \lim_{h \to \ 0} ( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}h) = \tfrac{1}{2}x </math> Das ist die gleiche Funktion wie beim graphischen Differenzieren.|2=Lösung|3=Lösung}} |3= Üben}}
An den Stellen <math>x = t </math> und <math>x = -t </math> haben die Funktionen der Schar eine waagerechte Tangente. Zum Beispiel hat <math>f_1</math> an den Stellen 1 und -1 waagerechte Tangenten.
[[Datei:Geogebra-exportfunktionenshar1.png|1200px|zentriert|rahmenlos]]
|2= Lösung|3=Lösung}}


===So geht es weiter===
|Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}} |3= Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 12. Juni 2020, 22:48 Uhr


Info

Dieses Lernpfadkapitel bietet dir einen Überblick zum Thema Differenzialrechnung: Änderungsraten, Sekanten- und Tangentensteigung sowie deren Anwendungen. Zuerst erklären wir dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst du selbständig die Aufgaben bearbeiten.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
  • Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!

Grundlegende Begriffe und Formeln

Beschreibung von Änderungsprozessen mit Änderungsraten
mini
Der Niagara River verbindet den Eriesee mit dem Ontariosee, in den Horseshoe Falls stürzt er 57m in die Tiefe. Der Graph (schwarz) simuliert den Fall eines Steins von der Kante des Wasserfalls. Die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit ist die Veränderung der Höhe in einem Zeitabschnitt. Verschiebe den Regler und beobachte, wie sich die durchschnittliche Geschwindigkeit verändert. Mathematisch gesehen ist die Fallgeschwindigkeit in einem Zeitabschnitt die durchschnitlliche Änderungsrate der Funktion in einem Intervall. Du ermittelst diese als Steigung der Sekante (rote Linie) zwischen 2 Punkten.

Wie schnell ist der Stein beim Aufprall auf die Wasseroberfläche? Verschiebe den Regler ganz nach rechts, aus dem Zeitintervall wird fast ein Zeitpunkt. Die rote Linie berührt den Graph und in diesem Punkt stimmen die Steigung des Graphen und die Steigung der roten Linie (Tangente) lokal nahezu überein. Die Steigung der Tangente beschreibt das Verhalten der Funktion im Berührungspunkt und wird als lokale Änderungsrate bezeichnet. In unserem Fall ist es die momentane Geschwindigkeit beim Aufprall.

GeoGebra


Merke

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall und wird mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet:


Merke

Die lokale Änderungsrate in einem Punkt nennt man Differenzialquotient oder Ableitung in einem Punkt. Man berechnet diesen als Grenzwert (du schreibst dafür ) der Sekantensteigungen:

Setzt man für den Abstand von zu so gilt die Formel:

Aufgaben zum Wiederholen und Vertiefen

Aufgabe 1: Durchschnittliche Änderungsrate

Bestimme die durchschnittlichen Änderungsraten der Funktionen in den vorgegebenen Intervallen. Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und evtl. einen Taschenrechner.

a) in dem Intervall [1; 2]

Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau dir die Formel in dem ersten Merkkasten an. Für und setze die Intervallgrenzen ein. Z.B. 2 und 3 für das Intervall [2;3]
Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt .
Setze die Werte wie folgt in die Formel ein:

b) in dem Intervall [-2; -1]

Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau dir die Formel in dem ersten Merkkasten an. Für und setze die Intervallgrenzen ein. Z.B. 2 und 3 für das Intervall [2;3]
Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 6,8.
Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein:


c) in dem Intervall [1,99; 2,01].

Überlege, was in dem Intervall mit der Sekante passiert.

Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau dir die Formel in dem ersten Merkkasten an. Für und setze die Intervallgrenzen ein. Z.B. 2 und 3 für das Intervall [2;3]
Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 1.
Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: .
Da das Intervall sehr klein ist, nähern sich die Schnittpunkte der Sekante mit der Funktion und die durchschnittliche Änderungsrate geht in die lokale über.


Aufgabe 2: Übergang von durchschnittlicher zur lokalen Änderungsrate

Du benötigst für diese Aufgabe Papier und Stifte für Notizen.

In dem Applet ist der Graph der Funktion dargestellt.

Hinweis: GeoGebra verwendet bei Dezimalzahlen einen Punkt statt ein Komma, also wird dort als geschrieben.

a) Verändere mithilfe des Schiebereglers für den Abstand zwischen den Punkten und und notiere für und die Steigung der Sekanten durch die Punkte und .

b) Kannst du damit die Steigung der Tangente, also die lokale Änderungsrate an einem Punkt ermitteln?

Schiebe den Regler so weit, dass ist. Die Schnittpunkte nähern sich also, die Sekante geht in die Tangente über und somit entsteht aus der durchschnittlichen Änderungsrate am Grenzübergang die lokale.

c) Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion durch. Was stellst du fest? Ist es überraschend?

GeoGebra
Die Steigung der Tangenten beider Funktionen im Punkt beträgt . Die notierten Werte der durchschnittlichen Änderungsraten nähern sich dieser Zahl an, wenn sich der Zahl 0 nähert. Das entspricht genau der Definition der Tangente als Grenzwert der Sekantensteigungen. Der gleiche Wert für die zweite Funktion sollte auch nicht überraschen, denn diese ist die gleiche Funktion, lediglich um 1 nach unten verschoben.
Aufgabe 3: Schlittenfahrt
Kinder auf einem Schlitten.JPG

Im kalten Winter unter idealen Bedingungen (keine Reibung, kein hektisches Lenken und kein unnötiges Bremsen) schlitterst Du einen Hang mit 5 % Gefälle hinab.

Der von deinem Schlitten zurückgelegte Weg wird annähernd durch die Funktion beschrieben. Dabei steht für die Zeit nach dem Start in Sekunden und für die seit dem Start zurückgelegte Strecke in Metern. 100m weit von deinem Startpunkt entfernt steht auf der Schräge dein Freund.

a) Wann fährst du an deinem Freund vorbei?

Hier kannst du mit dem Funtkionsterm arbeiten. Die Entfernung bis zu deinem Freund, also 100 ist der Wert der Funktion zum gesuchten Zeitpunkt . Stelle mit Hilfe des Funktionsterms eine Gleichung auf, mit als Variable.

Den Wert können wir in dem Sachzusammenhang verwerfen (du sitzt schließlich auf dem Schlitten, nicht in der Zeitmaschine), also fährst du später an deinem Freund vorbei.

b) Welche Geschwindgkeit hat dein Schlitten zu diesem Zeitpunkt?

Die Geschwindigkeit wird als berechnet. Die Geschwindigkeit steht also in dieser Aufgabe für die Änderungsrate. Überlege zuerst, nach welcher Änderungsrate hier gefragt wird. Die Begriffe Strecke oder Zeitabschnitt stehen für durchschnittliche Veränderungen, dagegen werden mit Begriffen wie "zum Zeitpunkt" oder "im Moment" lokale Änderungsrate bezeichnet.
Du fährst mit einer Geschwindigkeit von an deinem Freund vorbei. Im Teil a) hast du berechnet, dass du nach an deinem Freund vorbei schlitterst. Es gibt nun 2 Möglichkeiten die Geschwindigkeit an dieser Stelle zu berechnen.

Berechne den Differentialquotient im . Die Formel dazu findest du im zweiten Merkkasten:

Im letzten Rechenschritt überlege, was mit dem Ausdruck passiert, wenn ist.

Wenn du bereits die Potenzregel zur Berechnung der Ableitungen kennst, so kannst du die momentane Geschwindigkeit als Wert der Ableitung an dieser Stelle (hier für ) berechnen:

Mittelschwere Aufgaben

Aufgabe 4: Überprüfe, ob Du alles verstanden hast

Ordne die Begriffe und Abbildungen richtig zu, indem Du sie auf das rechte oder linke Feld ziehst.

Die Begriffe "im Intervall", "zwischen 2 Punkten" oder "Sekante" deuten auf die durchschnittliche Änderungsrate hin. Dagegen deuten "zum Zeitpunkt" oder "Tangente" auf lokale Änderung. Zugehörige Formeln findest du in den Merkkästen.


Aufgabe 5: Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die lokale Änderungsrate im vorgegebenen Punkt

Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Gegeben sind die Funktionen:

  • und der Punkt
  • und der Punkt .

a) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x) und h(x) und skizziere die Tangenten in den angegebenen Punkten.

Loesung 5a Funktion f.png
Loesung 5a Funktion h.png

b) Bestimme die Steigung der Funktion im gegebenen Punkt durch Ablesen der Tangentensteigung.

Erinnerst du dich, dass die Steigung der Funktion in einem Punkt mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt übereinstimmt? Für das Ablesen der Tangentensteigung suche dir am besten ein Intervall zwischen 2 benachbarten ganzen Zahlen, deren Funktionswerte gut abzulesen sind. Steigungsdreieck ist hier das Stichwort.

Die Tangente der Funktion hat an der vorgegebenen Stelle Steigung . Die Tangente der Funktion hat an der Stelle 1 die Steigung Wie komme ich zu meiner Lösung? Beide Steigungen sind am einfachsten im Intervall abzulesen

Steigungf.png
Steigungsdreieckf.png

c) Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate der jeweiligen Funktion im vorgegebenen Punkt. Vergleiche deine Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Teil b).

Die lokale Änderungsrate im vorgegebenem Punkt berechnest Du am besten mit dieser Formel: . Hier entspricht die Steigung dem Wert der Ableitung an der vorgegebenen Stelle.

Für die Funktion rechnest du also:

, wenn du einsetzt.

Für die Funktion rechnest du:

Wenn du sauber gezeichnet und abgelesen hast, sind die Antworten in den Teilen b) und c) gleich. Die Steigung der Tangente einer Funktion ist also genau die lokale Änderungsrate der Funktion in der kleinsten Umgebung um den Berührungspunkt mit der Tangente.


Aufgabe 6: Anwendung in der Physik

Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und einen Taschenrechner.

Nagasaki 1945 - vor und nach der atomaren Explosion

Die Verbreitung der Schockwelle einer atomaren Explosion kann man annähernd mit folgender Funktion beschreiben:


Dabei steht die Variable für die Zeit nach der Explosion, gemessen in Sekunden, und die Funktion für den Radius der Verbreitung gemessen in Kilometern.

a) Berechne die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit der atomaren Explosion in folgenden Zeitabschnitten:

  • ersten drei Sekunden nach der Explosion
  • ersten zehn Sekunden nach der Explosion
  • Im Zeitraum von 7 bis 10 Sekunden nach der Explosion.


Die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit ist genau die Veränderung (also die Steigung oder die Änderungsrate) der Funktion in einem Zeitabschnitt. Die Steigung der Funktion in einem Intervall wird als Differenzenquotient berechnet, also hier in diesem Fall als

Im Teil a) wird nach dem Differenzenquotient gefragt, den du mit der Formel : berechnest. Für die ersten 3 Sekunden heißt im Intervall ,somit ergibt sich: .

Die Lösung für die ersten 10 Sekunden lautet : . Im Zeitintervall zwischen der 7. und der 10. Sekunde beträgt die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit .

b) Berechne die Geschwindigkeit der Ausbreitung im angegebenen Zeitpunkt:

  • zweite Sekunde nach der Explosion
  • zehnte Sekunde nach der Explosion
Hier ist nach der momentanen Geschwindigkeit gefragt. Stelle dir also die Frage, ob es um die durchschnittliche oder lokale Änderungsrate der Funktion geht. Vergleiche mit dem Teil a). Die entsprechende Berechnungsformeln findest du in Merkkästen am Anfang des Kapitels.

Wird nach der Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt bei einer Weg-Zeit-Funktion gefragt, so handelt es sich um die lokale Änderungsrate. Der Differntialquotient ist also geeignet. Für die Geschwindigkeit in der zweiten Sekunde rechnest Du also:

  .
Die momentane Ausbreitungsgeschwindigkeit in der Sekunde 10 beträgt bereits .


Aufgabe 7: Änderungsraten im Sachkontext

Überlege zuerst, welche Begriffe dem -Wert und dem -Wert zuzuordnen sind. Was hängt also wie von einander ab?

Zum Beispiel hängt die zurückgelegte Strecke von der Fahrzeit ab. Damit kann schon einmal die Funktion beschrieben werden. Die Formeln für durchschnittliche und momentane (lokale) Änderungsraten findest du in den Merkkästen.

Knobelaufgaben

Aufgabe 8: Achterbahn

Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Efteling

Ein Teil der Achterbahn lässt sich durch den Graphen der Funktion: beschreiben.

a) Zeichne den Graphen der Funktion . Notiere folgende Tabelle auf einem Blatt Papier und vervollständige sie, indem du an den angegebenen Stellen die Tangenten skizzierst und deren Steigungen durch Ablesen bestimmst.

mini


mini
Graphischdifferenzieren.png


b) Da es zu jedem Punkt nur eine Tangente gibt, ist die Zuordnung eine Funktion Betrachte die Wertepaare in der Tabelle bei Teil a). Die Funktion gibt für jeden Wegpunkt der Achterbahn an, ob diese hoch- oder runterfährt und wie steil die jeweiligen Steigungen sind.

Stelle die Gleichung der Funktion auf und zeichne diese in dein Koordinatensystem.

Für alle Wertepaare gilt, dass der Wert ein Vielfaches von ist, wobei dieser Faktor eine feste Zahl ist. Solche Zuordnungen nennt man linear.
Die Funktionsgleichung lautet: . Denn oder . Diese Funktion gibt die lokale Steigungsänderung der Achterbahn in Abhängigkeit vom Streckenpunkt an. Das hast du beim Skizzieren der Tangenten sicherlich bereits vermutet. Da die lokalen Änderungsraten bestimmt wurden, ist diese Funktion die Ableitungsfunktion von . Dieses Verfahren nennt man graphisches Differenzieren. Im Teil c) kannst du diese Behauptung rechnerisch überprüfen.

c) Wie steil ist die Steigung der Achterbahn an einer von dir gewählten Stelle und fährt sie an dieser auf- oder abwärts? Gebe eine Funktion an, die die Steigung an einer beliebigen Stelle berechnet und vergleiche dein Ergebnis mit dem Ergebnis von Teil b).

Berechne den Differentialquotienten von in einem beliebigen Punkt.

Der Differentialquotient lässt sich wie folgt berechnen: .

Das ist die gleiche Funktion wie beim graphischen Differenzieren im Teil b. Die Ableitung ist also die Steigung der Tangente der Funktion in einem bestimmtem Punkt. In diesem Fall kannst du damit die Steigung der Achterbahn, sowie ob diese auf oder abfährt an jedem Streckenpunkt schnell berechnen.


⭐Aufgabe 9: Tangenten für Funktionenschar

Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Gegeben ist eine Funktionenschar durch die Gleichung mit

a) Für welches ist die Tangente im Ursprung?


Die Tangente im Ursprung hat die Vorschrift . Überlege, was die Steigung der Tangente mit der Änderungsrate und der Ableitung zu tun haben. Du suchst eine Tangente mit der Steigung .

1) Berechne den Wert der ersten Ableitung der Funktionenschar an der Stelle :

.

Also haben die Tangenten durch den Ursprung die Formel mit den Steigungen .

2) Wir suchen die Tangente mit der Steigung :


3) Berücksichtige, dass laut der Aufgabe gilt. Somit ist für die Tangente im Ursprung . Diese Funktion ist blau gefärbt.

Geogebra-exportfunktionenshar.png

b) Untersuche, an welchen Stellen die Funktionen der Schar eine waagerechte Tangente haben.

Für waagerechte Tangenten gilt, dass die Steigung 0 ist. Die Steigung der Tangenten ist der Wert der Ableitung an dieser Stelle. Du suchst hier also, für welche Werte von in Abhängigkeit von gilt: .


An den Stellen und haben die Funktionen der Schar eine waagerechte Tangente. Zum Beispiel hat an den Stellen 1 und -1 waagerechte Tangenten.

Geogebra-exportfunktionenshar1.png