Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Monotonie

Aus ZUM Projektwiki
Merke

Das Monotonieverhalten einer Funktion

…beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.


Sei eine Funktion und

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion streng monoton steigend

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion monoton steigend


-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion streng monoton fallend

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion monoton fallend


MonotonieAbbildung.png


Aufgabe 1



So berechnest du das Monotonieverhalten einer Funktion


1. Erste Ableitung berechnen

2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

3. Intervalle benennen

4. Monotonietabelle aufstellen

5. Vorzeichen der Intervalle berechnen

6. Ergebnis interpretieren


Beispiel: Monotonieverhalten für bestimmen

Zuerst berechnen wir die Ableitung . Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung () und erhalten durch Umformungen als Nullstelle .

Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten und . Darauffolgend stellen wir eine Monotonietabelle auf und berechnen die Vorzeichen für die Intervalle:
Tiefpunkt

Aus dem Ergebnis können wir schließen, dass die Funktion für streng monoton fallend und für streng monoton steigend ist.


Aufgabe 2

a) Nach einem starken Regenschauer in Münster steigt der Wasserspiegel im Aasee an. Die Funktion beschreibt die Zuflussgeschwindigkeit in den ersten 72 Stunden ( Zeit in Stunden, Zuflussgeschwindigkeit in Liter pro Stunde). Wann fließt innerhalb dieser Zeit Wasser zu und wann Wasser ab?

Die Monotonie zeigt uns an, wo der Graph steigt und fällt. In dem Sachzusammenhang somit wann der Wasserspiegel zu und auch abnimmt.

Wir berechnen zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung:


Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
PQ-Formel anwenden
und

Mithilfe der errechneten Intervalle können wir nun die Monotonietabelle aufstellen:


Tabelle 2a.png


Antwort: Somit fließt das Wasser bis zur Stunde 7,4 seit Messung dazu.Danach fließt es ca bis Stunde 26 ab.


b) ⭐ Die Firma "SuperBounce" hat einen speziellen Ball erfunden, der eine einzigartige Sprungbewegung beim Wurf auf dem Boden erzeugt. Die Funktion beschreibt annähernd die Flugbahn des Balles, wobei die Härte des Wurfes durch den Werfer beschreibt. (horizontaler Verlauf des Balles in cm, vertikaler Verlauf des Balles in cm).

Wir berechnen zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung:


Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
Ausklammern
Satz vom Nullprodukt

. und

Mithilfe der errechneten Intervalle können wir nun die Monotonietabelle aufstellen:

Tabelle 2b.jpg



Antwort:



Aufgabe 3

a) Auf dem Bild siehst du den Graphen einer Ableitungsfunktion . Welche Aussagen kannst du über das Monotonieverhalten von machen?

















Erinnere dich daran, wie du bei der Berechnung des Monotonieverhaltens vorgehst. Welche Aussagen zum Monotonieverhalten liefert dir ?
Die Nullstellen von definieren die verschiedenen Intervalle, in denen das Monotonieverhalten von verschieden ist. Nun kannst du betrachten, auf welchen Intervallen bzw. ist. Welche Aussagen kannst du damit über das Monotonieverhalten von machen?

Die Nullstellen von sind und .

Damit sind die zu betrachtenden Intervalle , , und . Nun kannst du auf den verschiedenen Intervallen anhand des Graphen ablesen, ob an diesen oder ist.

Für ist , somit ist auf diesem Intervall streng monoton fallend.

Für ist , somit ist auf diesem Intervall streng monoton steigend.

Für ist , somit ist auf diesem Intervall streng monoton fallend.

Für ist , somit ist auf diesem Intervall streng monoton steigend.


b) Zeichne nun mithilfe deiner Ergebnisse aus a) den Funktionsgraphen mithilfe deiner Kenntnisse über sein Monotonieverhalten in dein Heft.

Dein Graph könnte in etwa so aussehen:

Graph f(x).jpg












Möglich, weitere Lösungen für die Zeichnung des Graphen sind unter anderem Verschiebungen in Richtung der Ordinate, also nach unten und oben oder auch Streckungen bzw. Stauchungen.