Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Monotonie

Merke

Das Monotonieverhalten einer Funktion

…beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

Sei $f(x)$ eine Funktion und $x_{1}<x_{2}$

-      Falls auf einem Intervall $f(x_{1})<f(x_{2})$ gilt, so ist die Funktion streng monoton steigend

-      Falls auf einem Intervall $f(x_{1})\leq \ f(x_{2})$ gilt, so ist die Funktion monoton steigend

-      Falls auf einem Intervall $f(x_{1})>f(x_{2})$ gilt, so ist die Funktion streng monoton fallend

-      Falls auf einem Intervall $f(x_{1})\geq \ f(x_{2})$ gilt, so ist die Funktion monoton fallend

Aufgabe 1

So berechnest du das Monotonieverhalten einer Funktion

1. Erste Ableitung berechnen

2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

3. Intervalle benennen

4. Monotonietabelle aufstellen

5. Vorzeichen der Intervalle berechnen

6. Ergebnis interpretieren

Beispiel: Monotonieverhalten für $g(x)=x^{2}$ bestimmen

Zuerst berechnen wir die Ableitung $g'(x)=2x$. Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung ($g'(x)=0$) und erhalten durch Umformungen als Nullstelle $x=0$.

Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten $(-\infty ,0)$ und $(0,+\infty )$. Darauffolgend stellen wir eine Monotonietabelle auf und berechnen die Vorzeichen für die Intervalle:

	$-\infty <x<0$	$f'(0)$	$0<x<\infty$
$f'(x)$	$<0$	$=0$	$>0$
$G_{f}$	$\searrow$	Tiefpunkt	$\nearrow$

Aus dem Ergebnis können wir schließen, dass die Funktion für $(-\infty ,0)$ streng monoton fallend und für $(0,+\infty )$ streng monoton steigend ist.

Aufgabe 2

a) Nach einem starken Regenschauer in Münster steigt der Wasserspiegel im Aasee an. Die Funktion $f(x)={\frac {1}{4}}x^{3}-{\frac {25}{2}}x^{2}+144x$ beschreibt die Zuflussgeschwindigkeit in den ersten 72 Stunden ($x=$ Zeit in Stunden, $f(x)=$ Zuflussgeschwindigkeit in Liter pro Stunde). Wann fließt innerhalb dieser Zeit Wasser zu und wann Wasser ab?

Die Monotonie zeigt uns an, wo der Graph steigt und fällt. In dem Sachzusammenhang somit wann der Wasserspiegel zu und auch abnimmt.

Wir berechnen zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung:

$f(x)={\frac {1}{4}}x^{3}-{\frac {25}{2}}x^{2}+144x$

$f'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-25x+144x$

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

${\frac {3}{4}}x^{2}-25x+144x=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:{\frac {3}{4}}$

$\;x^{2}-{\frac {100}{3}}x+192=0\;\;\;\;\;\;\;\,|$PQ-Formel anwenden

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\Big (}{\frac {p}{2}}{\Big )}^{2}-q}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-{\frac {-100}{3}}\pm {\sqrt {{\Big (}{\frac {-100}{3}}{\Big )}^{2}-{\Big (}192{\Big )}}}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1}=25,92$ und $x_{2}=7,40$

Mithilfe der errechneten Intervalle können wir nun die Monotonietabelle aufstellen:

Antwort: Somit fließt das Wasser bis zur Stunde 7,4 seit Messung dazu.Danach fließt es ca bis Stunde 26 ab.

b) ⭐ Die Funktion $f(x)={\frac {5}{6}}x^{4}-a^{2}x^{2}$ beschreibt, wobei a angibt ($x=$, $f(x)=$).

Wir berechnen zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung:

$f(x)={\frac {5}{6}}x^{4}-a^{2}x^{2}$

$f'(x)={\frac {20}{6}}x^{3}-2a^{2}x$

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$\;\;\;\;\;\;{\frac {20}{6}}x^{3}-2a^{2}x=0\;\;\;\;\;\;\;|$ Ausklammern

$\;x\cdot ({\frac {20}{6}}x^{2}-2a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|$ Satz vom Nullprodukt

$\Rightarrow x=0\Leftrightarrow x_{1}=0$

$\vee .\;\;\;\;\;\;{\frac {20}{6}}x^{2}-2a^{2}=0\;\;\;\;\;\;\,\;|+2a^{2}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {20}{6}}x^{2}=2a^{2}\;\;\;\;|:{\frac {20}{6}}$

$\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}={\frac {3}{5}}a^{2}\;|{\sqrt {(...)}}$

.$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1}=0,x_{2}={\frac {\sqrt {15}}{5}}a,$ und $x_{3}=-{\frac {\sqrt {15}}{5}}a$

Aufgabe 3

a) Auf dem Bild siehst du den Graphen einer Ableitungsfunktion $f'(x)$. Welche Aussagen kannst du über das Monotonieverhalten von $f(x)$ machen?

Erinnere dich daran, wie du bei der Berechnung des Monotonieverhaltens vorgehst. Welche Aussagen zum Monotonieverhalten liefert dir $f'(x)=0$?

Die Nullstellen von $f'(x)$ definieren die verschiedenen Intervalle, in denen das Monotonieverhalten von $f$ verschieden ist. Nun kannst du betrachten, auf welchen Intervallen $f'(x)$ $<0$ bzw. $>0$ ist. Welche Aussagen kannst du damit über das Monotonieverhalten von $f(x)$ machen?

Die Nullstellen von $f'(x)$ sind $x_{1}=-3,x_{2}=-2$ und $x_{3}=-1$.

Damit sind die zu betrachtenden Intervalle $(-\infty ,-3)$, $(-3,-2)$, $(-2,-1)$ und $(-1,+\infty )$. Nun kannst du auf den verschiedenen Intervallen anhand des Graphen ablesen, ob $f'(x)$ an diesen $<0$ oder $>0$ ist.

Für $(-\infty ,-3)$ ist $f'(x)<0$, somit ist $f(x)$ auf diesem Intervall streng monoton fallend.

Für $(-3,-2)$ ist $f'(x)>0$, somit ist $f(x)$ auf diesem Intervall streng monoton steigend.

Für $(-2,-1)$ ist $f'(x)<0$, somit ist $f(x)$ auf diesem Intervall streng monoton fallend.

Für $(-1,+\infty )$ ist $f'(x)>0$, somit ist $f(x)$ auf diesem Intervall streng monoton steigend.

b) Zeichne nun mithilfe deiner Ergebnisse aus a) den Funktionsgraphen $f(x)$ mithilfe deiner Kenntnisse über sein Monotonieverhalten in dein Heft.

Dein Graph könnte in etwa so aussehen:

Möglich, weitere Lösungen für die Zeichnung des Graphen sind unter anderem Verschiebungen in Richtung der Ordinate, also nach unten und oben oder auch Streckungen bzw. Stauchungen.

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