Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema: Unterschied zwischen den Versionen
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:'''Hinweis:''' Alternativ kannst du das hinreichende Kriterium überprüfen, indem du überprüfst, ob ein Vorzeichenwechsel vor und hinter einem Extrema vorliegt. | :'''Hinweis:''' Alternativ kannst du das hinreichende Kriterium überprüfen, indem du überprüfst, ob ein Vorzeichenwechsel vor und hinter einem Extrema vorliegt. | ||
:'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder | :'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder Stelle existiert eine passende Ordinate. Dazu setzt du <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> ein. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form <math>E(x_E|f(x_E))</math>. | ||
'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines | '''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Wendepunkts dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen. <br> | ||
Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können: | Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können: | ||
[[Datei:ÜbersichtExtrema.png|zentriert|rahmenlos|1000x1000px]] | [[Datei:ÜbersichtExtrema.png|zentriert|rahmenlos|1000x1000px]] | ||
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;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>. | ;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>. | ||
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen: | :Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen: | ||
:<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;| | :<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|+6</math> | ||
:<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math> | :<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math> | ||
:<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{ | :<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{3}{2}</math><br> | ||
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>. | ;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>. | ||
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{ | :Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{3}{2}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{2}.</math> | ||
;Ordinate bestimmen: <br> | ;Ordinate bestimmen: <br> | ||
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{ | :Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{3}{2}\Big) = -\frac{1}{2} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{3}/-\frac{1}{2}\Big)</math> | ||
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}} | |2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}} | ||