Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Von der mittleren zur momentanen (lokalen) Änderungsrate

Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der durchschnittlichen und der momentanen Änderungsrate. Dabei geht es in Aufgabe 1 ausschließlich um die durchschnittliche Änderungsrate. Bei Aufgabenteil a soll .. Aufgabenteil b soll ein Ergebnis erklärt werden In Aufgabe 2 geht es darum, zu erkennen, welcher Sachkontext zu welche Art der Änderungsrate gehört.

Die durchschnittliche Änderungsrate

Aufgabe 1a: Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate für ...

1. $f(x)=x^2$ im Intervall $[3, 5]$ und im Intervall $[-1, 1]$?
2. $g(x)=1-x^2$ im Intervall $[1, 3]$?
3. $h(x)=-\frac{1}{8}x^2+2x$ im Intervall $[2, 10]$?
4. $i(x)=x^3+4x$ im Intervall $[-5, 6]$?
5. $j(x)=x^4+2x^2-x$ im Intervall $[-6, -2]$ ?

<popup name="Tipp"> Achte auf die Vorzeichen! </popup>

<popup name="Erläuterung zum Differenzenquotienten 1">

Differenzenquotient? Was war das denn nochmal?

Der Quotient $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ wird Differenzenquotient genannt. Dieser Quotient beschreibt, wie groß der Unterschied zwischen den Werten der Funktion an den Intervallgrenzen $(f(b) - f(a))$ im Verhältnis zu der Länge des Intervalls $(b-a)$ ist. Damit entspricht dieser Quotient der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a|f(a))$ und $(b|f(b))$. </popup>

<popup name="Erläuterung zum Differenzenquotienten 2"> Error: www.youtube.com is not an authorized iframe site. </popup>

<popup name="Lösung">

1. 8, 0
2. -4
3. 0,5
4. 35
5. -337

</popup>

Aufgabe 1b: Wie ist der zweite Wert/ das zweite Ergebnis bei 1. zu erklären?

<popup name="Lösung"> Die Symmetrie der Normalparabel und das Intervall $[-1, 1]$ führen in diesem Fall dazu, dass ... Obwohl Weg zurück gelegt wird, kann es im Schnitt also so aussehen, als hätte man sich gar nicht bewegt. Dies gilt übrigens nicht nur für Parabeln, sondern kann auch bei anderen Funktionen passieren. </popup>

Aufgabe 1c: Das Wetter in Münster und Lubumbashi

Temperature curve, Münster, Lubumbashi

<popup name="Lösung"> Die Höchsttemperatur von 20°C wurde in Münster um 18 Uhr erreicht, während in Lubumbashi bereits um 14 Uhr der höchste Wert von 35°C gemessen wurde. Zwischen 0 und 4 Uhr stieg die Temperatur in Münster um 4°C. Pro Stunde änderte sich die Temperatur somit um 0,5°C. Im gleichen Zeitraum ist in Lubumbashi eine durchschnittliche Temperaturänderung von 0,5°C zu verzeichnen. Der größte Temperaturanstieg erfolgte in Lubumbashi zwischen 8 und 10 Uhr. Die Temperatur fiel am schnellsten zwischen 18 und 20 Uhr in Lubumbashi. </popup>

Unterscheidung von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

In dieser Aufgabe erwarten dich zwei Teilaufgaben. In der ersten kannst du trainieren, wann die durchschnittliche und wann die momentane Änderungsrate zu berechnen ist. In Teilaufgabe b) wird das Erlernte dann vertieft. Diese Teilaufgabe ist besonders geeignet, wenn du in Teilaufgabe a)sehr sicher warst und danach eine Herausforderung suchst.

Aufgabe 2a: Entscheidungen im Kontext treffen

<popup name="Hilfestellung 1"> Überlege, ob bei der momentanen bzw. durchschnittlichen Änderungsrate eine Stelle oder ein Intervall beschrieben wird. </popup> <popup name="Hilfestellung 2"> In diesem Video wird noch einmal am Beispiel der Geschwindigkeit erläutert, wie die Entscheidung zwischen momentaner Änderungsrate und durchschnittlicher Änderungsrate zu treffen ist:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

FortfahrenAusblenden

</popup>

Aufgabe 2b: Reflexion der Entscheidungen

Formuliere in deinem Heft, woran du die Entscheidung für die momentane oder durchschnittliche Änderungsrate festmachst!

<popup name="Lösung"> Im Kontext der verstrichenen Zeit in Abhängigkeit einer anderen Größe muss die momentane Änderungsrate angewendet werden, wenn es sich um einen Zeitpunkt handelt. Bei einer Zeitspanne wird die durchschnittliche Änderungsrate benötigt. </popup>

Von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate - eine Fahrradtour durch Münster

Aufgabe 3: Fahrradfahren durch Münster

Eine Gruppe Touristen macht eine Sightseeing-Tour mit dem Fahrrad durch Münster. Weil an dem Tag Kirmes ist, können sie nicht direkt vor das Schloss fahren. Nach einem Fotostopp am Schloss gehen sie zu ihren Fahrrädern zurück und fahren weiter zum Dom.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

FortfahrenAusblenden

a) Bestimme die Zeitpunkte, zu denen die folgenden Streckenabschnitte erreicht werden. Schau dir dazu das Video noch einmal genau an.

• Start in der Nähe des Schlosses (0m zurückgelegt)
• Anhalten vor der Ampel (80m vom Startpunkt entfernt)
• Weiterfahrt an der Ampel
• Halt vor der Müllabfuhr (230m vom Startpunkt entfernt)
• Weiterfahrt nachdem die Müllabfuhr weggefahren ist
• Ankunft am Dom (700m vom Startpunkt entfernt)

b) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der die Touristen die Strecke vom Schloss bis zum Dom zurückgelegt haben.

c) Wie schnell waren die Touristen zwischen

• Schloss und Ampel?
• Ampel und Halt vor der Müllabfuhr?
• Weiterfahrt (nachdem die Straße wieder frei ist) bis zum Anhalten vor dem Dom?

d) Beantworte die folgenden Fragen.

Halten sich die Touristen zwischen der Weiterfahrt nach dem Müllabfuhr-Halt und dem Dom an die Schrittgeschwindigkeit von 6km/h? (!Ja) (Nein)

Stimmt diese Aussage für alle Teilbereiche der Strecke? (!Ja) (Nein)

e) Wie schnell sind die Touristen beim Abbiegen von der Straße auf den Rad- und Fußgängerweg vor der eingerüsteten Überwasserkirche? Nutze dafür den Schieberegler. Das Applet stellt nur das Abbiegen dar, wobei auf der x-Achse die Zeit in Sekunden und auf der y-Achse die zurückgelegte Strecke in Metern eingetragen ist.

Error: www.geogebra.org is not an authorized iframe site. <popup name="Hinweis zu 3a"> Die Zeitangaben sind hier nicht eindeutig. Ob du denkst, dass die Radfahrer schon eine Sekunde früher oder später an einem Ort angekommen sind, ist auch nicht wichtig. </popup> <popup name="Hinweis zu 3b"> Achte genau auf die Einheiten! </popup> <popup name="Hilfe zu 3b"> Meter pro Sekunde (m/s) kannst du in Kilometer pro Stunde (km/h) umrechnen, in dem du einzeln die Meter in Kilometer und die Sekunden in Stunden umrechnest. </popup>