Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Graphisches Ableiten - Die Ableitung als Funktionsdetektor

In diesem Lernpfad könnt ihr den Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Ableitungsgraph üben und vertiefen. Es steht das graphische Ableitung im Vordergrund, d.h. der Zusammenhang zwischen besonderen Punkten und Merkmalen der Funktion und der Ableitung. Dabei unterscheiden wir zwischen Förder- und Forderaufgaben.

Fällt dir das Thema leicht, konzentriere dich auf die Forderaufgaben (Aufgabe ).
Hast du noch Schwierigkeiten, konzentriere dich auf die Förderaufgaben (Aufgabe ).

Wenn du bei den Aufgaben Hilfe benötigst, findest du unter den Aufgaben Hilfestellungen. Diese kannst du anklicken. Bei manchen Aufgaben findest du dort auch die Lösungen.

Aufgabe 1: Lückentext

Um den Graphen größer zu sehen und somit die Werte besser zu erkennen, klicke den Graphen an. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
<popup name="Hilfestellung 1">Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Funktionsgraphen am Berührungspunkt. </popup>

<popup name="Hilfestellung 2">Besitzt der Funktionsgraph einen Hoch- oder Tiefpunkt, so hat die Tangente keine Steigung. </popup>

<popup name="Hilfestellung 3">Welchen Grad besitzt die Ableitung der Funktion f(x)=x²?.<popup name="Lösung"> Der Grad dieser Ableitung beträgt 1. Versuche dieses nun auf eine Funktion vom Grad 3 zu übertragen.</popup>

Aufgabe 2: Welche Ableitung gehört zu welchem Funktionsgraphen?

Um den Graphen größer zu sehen und somit die Werte besser zu erkennen, klicke den Graphen an. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
<popup name="Hilfestellung 1">Betrachte zunächst auffällige Punkte des Funktionsgraphen und versuche diese Punkte in der Ableitung wiederzuerkennen. </popup>

<popup name="Hilfestellung 2">Eine Nullstelle in der Ableitung stellt einen Hoch- oder Tiefpunkt in der Funktion dar. </popup>

<popup name="Hilfestellung 3">Ein Hoch- oder Tiefpunkt in der Ableitung stellt eine Wendestelle der Funktion dar. </popup>

Aufgabe 3: Die 1.000.000 Euro Frage

Um die Funktionsgraphen größer zu sehen, kannst du diese anklicken. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.

<popup name="Hilfestellung 1">Versuche zunächst den Graphen der beschriebenen Funktion auf einem Blatt zu zeichnen. </popup> <popup name="Hilfestellung 2">Eine Nullstelle in der Ableitung stellt einen Hoch- oder Tiefpunkt in der Funktion dar. </popup> <popup name="Hilfestellung 3">Ein Hoch- oder Tiefpunkt in der Ableitung stellt eine Wendestelle der Funktion dar. </popup>
<popup name="Lösungsvorschlag"> Die gesuchte Ableitung ist die linke Abbildung.
Die Funktion hat an der Stelle x=3 einen Wendepunkt, da sie an dieser Stelle die stärkste Steigung aufweist. Wenn die Funktion einen Wendepunkt hat, so hat die Ableitung einen Hoch- oder Tiefpunkt. Die linke und rechte Abbildung erfüllen dieses Kriterium. Die mittlere Abbildung kommt nun nicht mehr in Frage.
Da die Funktion einen Hochpunkt bei (2,1) und einen Tiefpunkt bei (4,-1) besitzt, muss die zugehörige Ableitung an den Stellen x=2 und x=4 Nullstellen besitzen. Auch dies ist bei der linken und rechten Abbildung der Fall.
Im Intervall 2 < x <4 fällt die beschriebene Funktion monoton, da sie in x=2 einen Hochpunkt und in x=4 einen Tiefpunkt besitzt. Wenn die Funktion monoton fällt, so ist die Ableitung negativ. Nun kommt lediglich die linke Abbildung in Frage, da die rechte Ableitung im obigen Intervall positiv ist.

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Aufgabe 4: Pärchenbildung

Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.

Aufgabe 5: Müllproblem

Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.

Müll ist in Deutschland ein Problem. Die Zuwachsrate der gesamten Müllmenge in Deutschland wird durch den grünen Graphen dargestellt. Auf der x-Achse sind die Jahre von 2000 bis 2016 dargestellt. Das Jahr 2000 entspricht der Stelle x=0. Für den Graphen von f gibt die y-Achse die Müllmenge in Millionen Tonnen an. Erkläre, welchen mathematischen Zusammenhang es zwischen den beiden dargestellten Graphen gibt. Erläutere den Zusammenhang der beiden Graphen im Kontext des Müllproblems.

Graph

<popup name="Hilfestellung 2">Schaue dir einmal das Jahr mit der geringsten Gesamtmüllmenge an. Welchen Zusammenhang zum grünen Graphen kannst du erkennen? </popup>

<popup name="Lösungsvorschlag"> Der Graph g stellt die Ableitung der Funktion f dar. g gibt die Zuwachsrate an Müll in Millionen Tonnen pro Jahr an. Die Gesamtmüllmenge sinkt von 2000 bis 2005. Entsprechend ist die Ableitung negativ. Im Jahr 2005 ist die Gesamtmüllmenge minimal (Tiefpunkt), somit hat die Ableitung dort eine Nullstelle. Ab 2005 steigt die Gesamtmüllmenge in Deutschland. Daraus ergeben sich positive Werte für die Ableitung. </popup>