Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1=Aufgabe 8*|2=Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?! | |||
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Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. | Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. | ||
Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." | Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." | ||
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'''a)''' | '''a)''' | ||
*Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum? | *Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum? | ||
*Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere? | *Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere? | ||
*Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n). | *Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n). | ||
<center><ggb_applet id="SM67Ex9h" width="700" height="505" /></center> | <center><ggb_applet id="SM67Ex9h" width="700" height="505" /></center> | ||
{{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht? | {{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht? | ||
Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). | Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). | ||
Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. | |||
Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. |2=Hinweis zu a)|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist. | {{Lösung versteckt|1=Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist. | ||
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. | Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. | ||
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar. | Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar. | ||
[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]] | |||
|2=Lösung a)|3=schließen}} | |2=Lösung a)|3=schließen}}|3=Üben}} | ||
'''b)''' Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken. | '''b)''' Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken. |
Version vom 3. Januar 2019, 18:53 Uhr
Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale
Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er?
c) Untersuchung einer Funktion
Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe.
b) Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken.
Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?}}
6) einen Sprung.
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war.
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.