Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung: Unterschied zwischen den Versionen
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''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1'' <br/> | ''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1'' <br/> | ||
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''c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*''<br/> | ''c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*''<br/> | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Aufgaben mit einem * sind komplexer.|2=Hinweis zu *|3=schließen}} | |||
Die Aufgaben mit einem * sind komplexer. | |||
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p84w33c8a17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p84w33c8a17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
{{Lösung versteckt|1=Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er? |2=Hilfe|3=schließen}} | |||
{{Aufgaben|3|Du siehst im Folgenden den Graphen einer Funktion. Bestimme rechnerisch für die x-Werte unter der Abbildung, welche Steigung m die Tangente an diesen Stellen besitzt. | {{Aufgaben|3|Du siehst im Folgenden den Graphen einer Funktion. Bestimme rechnerisch für die x-Werte unter der Abbildung, welche Steigung m die Tangente an diesen Stellen besitzt. | ||
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'''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind. | '''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind. | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/> | 1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/> | ||
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3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten. <br/> | 3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten. <br/> | ||
4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. <br/> | 4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. |2=Lösung Teil 2"|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Begründung: Nachdem die Funktion den y-Wert 3 erreicht hat, fällt die Funktion. Somit muss die Steigung negativ werden. |2=Begründung 1)|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Begründung: Die Steigung ist nur in linearen Funktionen (g(x) = m*x + b) gleich. | |||
{{Lösung versteckt|1=Begründung: Die Steigung ist nur in linearen Funktionen (g(x) = m*x + b) gleich. |2=Begründung 2)|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Begründung: Durch die Verschiebung einer Funktion auf der y-Achse verändert sich nicht die Steigung, <br/> | |||
sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt.|2=Begründung 3)|3=schließen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant. |2=Begründung 4)|3=schließen}} | |||
===c) Untersuchung einer Funktion=== | ===c) Untersuchung einer Funktion=== | ||
{{Aufgaben|6|Steigung und Koordinaten ablesen}} | {{Aufgaben|6|Steigung und Koordinaten ablesen}} | ||
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pab2g1ytv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pab2g1ytv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
{{Lösung versteckt|1=Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. | |||
Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8. | Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8. | ||
Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe. | Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe.|2=Lösung|3=schließen}} | ||
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{{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht? | |||
Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). <br/> | Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). <br/> | ||
Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. <br/> | Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. <br/>|2=Hinweis zu a)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist. | |||
Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist. | |||
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. <br/> | Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. <br/> | ||
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar. | Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar. | ||
:::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]] | :::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]] | ||
|2=Lösung a)|3=schließen}} | |||
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{{Lösung versteckt|1=Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. <br/> | |||
Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. <br/> | |||
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war. <br/> | Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war. <br/> | ||
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein. | Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein. | ||
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<iframe scrolling="no" title="Tangente(n) Punkt P(6|6)?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/UbVMmQJr/width/700/height/505/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="800px" height="505px" style="border:0px;"> </iframe> | <iframe scrolling="no" title="Tangente(n) Punkt P(6|6)?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/UbVMmQJr/width/700/height/505/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="800px" height="505px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
|2=Lösung b)|3=schließen}} | |||
Version vom 3. Januar 2019, 16:05 Uhr
Inhaltsübersicht
a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1
b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5*
c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*
Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale
Teil 1)
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Teil 2) Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.
1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ.
2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich.
3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten.
{{Lösung versteckt|1= Begründung: Die Steigung ist nur in linearen Funktionen (g(x) = m*x + b) gleich.
Begründung: Durch die Verschiebung einer Funktion auf der y-Achse verändert sich nicht die Steigung,
c) Untersuchung einer Funktion
Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf.
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?
Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe.
a) Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum?
Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere?
Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).
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6).
6) ist.
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein.
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.
b) Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken. Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?
6) einen Sprung.
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war.
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.
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