Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben|5|Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören. <br/> | {{Aufgaben|1=5|2=Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören. <br/> | ||
Kannst du ihm helfen? <br/> | Kannst du ihm helfen? <br/> | ||
Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt. | Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt. | ||
'''Teil 1)''' | '''Teil 1)''' | ||
<center><ggb_applet id="qtyjMzaR" width="700" height="500" /></center> | <center><ggb_applet id="qtyjMzaR" width="700" height="500" /></center> | ||
'''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind. | '''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/> | 1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/> | ||
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2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich. <br/> | 2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich. <br/> | ||
3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten. | 3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten. | ||
4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. |2=Lösung Teil 2"|3=schließen}} | 4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. |2=Lösung Teil 2"|3=schließen}} | ||
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sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt.|2=Begründung 3)|3=schließen}} | sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt.|2=Begründung 3)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant. |2=Begründung 4)|3=schließen}} | {{Lösung versteckt|1=Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant. |2=Begründung 4)|3=schließen}} | ||
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*Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere? <br/> | *Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere? <br/> | ||
*Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n). | *Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n). | ||
<center><ggb_applet id="SM67Ex9h" width="700" height="505" /></center> | <center><ggb_applet id="SM67Ex9h" width="700" height="505" /></center> | ||
{{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht? | {{Lösung versteckt|1=Hast du dir wirklich Gedanken gemacht? | ||
Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). <br/> | Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). <br/> | ||
Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. <br/>|2=Hinweis zu a)|3=schließen}} | Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. <br/>|2=Hinweis zu a)|3=schließen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist. | {{Lösung versteckt|1=Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist. | ||
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. <br/> | Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. <br/> | ||
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:::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]] | :::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]] | ||
|2=Lösung a)|3=schließen}} | |2=Lösung a)|3=schließen}} | ||
'''b)''' Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken. | '''b)''' Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken. | ||
Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)? | Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. | {{Lösung versteckt|1=Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. | ||
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<center><ggb_applet id="UbVMmQJr" width="800" height="505" /></center> | <center><ggb_applet id="UbVMmQJr" width="800" height="505" /></center> | ||
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Version vom 3. Januar 2019, 18:35 Uhr
Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale
Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er?
c) Untersuchung einer Funktion
Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen. Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe.
6) einen Sprung.
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war.
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.