Digitale Werkzeuge in der Schule/Ableitungen üben und vertiefen/Die Ableitung im Sachkontext anwenden: Unterschied zwischen den Versionen

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Main>Luisa WWU
Keine Bearbeitungszusammenfassung
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{{Arbeiten|NUMMER=1a|ARBEIT= Ein Werfer wirft einen Ball. Die Flugkurve des Balls kann näherungsweise durch die Funktion <math>f(x)=-0,02x^2+1,2x+2,08</math> beschrieben werden.}}
 
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= Herr Müller arbeitet als Testfahrer bei einem Autohersteller. Seit zwei Tagen fährt und testet er einen neuen spritsparenden Prototypen.<br />
Um genaue Informationen über die Fahrten zu erhalten, wurde ein Fahrtenschreiber in das Auto eingebaut.
Heute morgen hat Herr Müller<br />
ärgerlicher Weise verschlafen und fährt eilig los, um pünktlich mit seiner Arbeit beginnen zu können.<br /><br />
<br />
 
'''Ausdruck des Fahrtenschreibers'''
[[Datei:Fahrentschreiber 3.png|links|Ausdruck des Fahrentscheibers]]<br />}}
<br />
<br />
'''a)''' Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p7gsjvdqn17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> 24,5 km/h </popup><br />
<br />
<br />
 
'''b)''' Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p942xjwtc17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> Er steht von Minute 5 bis 7 vor der Ampel und die Steigung des Graphen ist in dieser Zeit 0. </popup><br />
<br />
'''c)''' Beschreibe den Fahrtverlauf der ersten 12 Minuten stichpunktartig.<br />
<popup name="Hilfestellung"> Schau dir den Graphen Stück für Stück an. Wie ist die Steigung (positiv, negativ, null) und was bedeutet dies im Sachzusammenhang?<br />
<popup name="genauere Hilfestellung"> Eine positive Steigeung bedeutet, dass Herr Müller mit seinem Auto fährt. Ist die Steigung stark, so fährt er eine lange Strecke in kurzer Zeit, d.h. er fährt schnell. Ist die Steigung schwach, fährt er langsam. Ist die Steigung Null (siehe Aufgabe b)) steht das Atuo. Eine negative Steigung macht in diesem Zusammenhang nicht so viel Sinn, da ein Fahrtenschreiber, selbst wenn Herr Müller nach hause zurück fahren würde, aufschreibt, dass das Atuo vorwärts fährt.  </popup><br />
<popup name="Lösung"> In den ersten zwei Minuten ist die Steigung des Graphen noch relativ schwach. Das heißt, dass Herr Müller langsam fährt. In den Mintuen drei bis fünf, weist der Graph eine stärkere Steigung auf, was bedeutet, dass Herr Müller in dieser Zeit schneller gefahren ist. Von Minute fünf bis sieben, steht Herr Müller mit seinem Auto (vor einer Ampel). Dies wird dadruch deutlich, dass die Steigung des Graphen Null ist. Bis Minute zwölf nimmt die Steigung nun immer weiter zu. Also wird das Atuo von Herrn Müller immer schneller. </popup><br />
<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= Ein Werfer wirft einen Ball. Die Flugkurve des Balls kann näherungsweise durch die Funktion <math>f(x)=-0,02x^2+1,2x+2,08</math> beschrieben werden.}}
<span style="color:blue"> a) </span> Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!  
<span style="color:blue"> a) </span> Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!  


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<span style="color:blue"> d) </span> Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.   
<span style="color:blue"> d) </span> Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.   
  <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pt8k3bz3c17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pt8k3bz3c17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= Ordne die anwendungsbezogenen Aussagen den entsprechenden Abbildungen oder Formeln mit Hilfe deines Wissens über Funktionen und ihren Ableitungen zu}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pmsv0igp517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Durch die Funktion f mit f(t)=-0,0027t<sup>2</sup>+0,108t+0,02 wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.
Löse die Aufgabe in deinem Heft.}}<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.<br />
<br /> <popup name="Lösung"> f(30)=0,83 Die Fichte wächst im 30. Jahr 83cm. </popup><br />
<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
<br /> <popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
<br /> <popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<br /> <popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=20 und die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 1,1 Meter. </popup>
<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein ''''''Heft'''''' für die Rechnungen zur Hilfe
<br /> [[Datei:Cologne-1078671 1920.jpg|rechts|rahmenlos|Rhein]]
<br /> In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Vorallem zwischen 1993 und 1995 gab es einige Rheinüberschwemmungen. In den ersten Tagen in 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze den Rhein auf Rekordhöhe steigen.
Bei dem Hochwasser wurde an einer Messstation zwölf Stunden lang der Wasserstand aufgezeichnet. Für 0 ≤ t ≤ 12, d.h. für den Beobachtungszeitraum von zwölf Stunden, stellt der Graph der Funktion h modellhaft die Höhe des Wasserstandes an dieser Messstation dar.
<br /> [[Datei:Hochwasser neu.png|links|Graph der Funktion h]]
<br /> '''Hinweis:'''<br />
* h(t) = -0,0025t³+0,04t²+9,17 <br />
* t    = Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn (27.01.1995 um 0:00) <br />
* h(t) = Wasserstand in Metern }}
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr.
<br /> <popup name="Hilfestellung"> t=7,5 </popup>
<br /> <popup name="Lösung"> h(7,5)=...≈10,37 </popup>
<span style="color:blue"> b) </span> Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.
<br /> <popup name="Hilfestellung"> Differenzenquotient </popup>
<br /> <popup name="Lösung">(h(8)-h(0))/(8-0)=...=0.16  </popup>
<span style="color:blue"> c) </span> Ermittel den Zeitpunkt, zu dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.
<br /> <popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
<br /> <popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<br /> <popup name="Lösungen"> Extremstelle liegt bei t= 32/3 (und t=0). Hochpunkt ist H(32/3 | 5771/540). Der Wasserstand liegt bei etwas 10,69 m. </popup>
<span style="color:blue"> d) </span> Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch.
<br /> <popup name="Hilfestellung 1"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung) </popup>
<br /> <popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<br /> <popup name="Lösungen"> Wendestelle liegt bei t=16/3. Daraus folgt, dass der Wasserstand nach 5 Stunden und 20 Minuten am schnellsten anstieg. </popup>
<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT= In den letzten 24 Stunden hat eine Internetseite erfasst, wie viele Besucher die Seite hatte. Die Abbildung zeigt das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr<br />
Durch die Funktion f(t) = -t<sup>3</sup> + 30•t<sup>2</sup> - 225•t + 520  für 6 ≤ t ≤ 20 wird das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr dargestellt. <br /><br />
<br />
'''Nutzungsverhalten der Internetseite'''
[[Datei:Internetnutzungsverhalten.png|links|Funktion]]<br />}}
<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Wie viele Besucher hatte die Internetseite um 10 Uhr?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pd98izukc17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br />
<br />
<popup name="Lösung"> Es sind 270 Besucher </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> b) </span> Wie viele Nutzer sind von 8 bis 10 Uhr im Durchschnitt pro Stunde dazu gekommen?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.<br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psj8f3kaa17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Lösung"> Es sind 206 Nutzer pro Stunde </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> c) </span> Zu welchem Zeitpunkt hat sich die Bescuherzahl durchschnittlich am stärksten geändert?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=py1jeux5317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="genauere Hilfe"> Die Stelle an der ein Graph die stärkste Änderung (der Steigung) hat, heißt Wendestelle.<br />
Um eine Wendestelle zu berechnen müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:<br />
notwendige Bedingun: f´´(t) = 0<br />
hinreichende Bedingung: f´´´(t) ≠ 0 </popup><br />
<popup name="Lösung"> Bei t=10 </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Zu welcher Uhrzeit haben die meisten Besucher die Internetseite besucht?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phg3bcf0j17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /><br />
<popup name="Lösung"> Bei t = 15 </popup>
<br />
<br />
{{Arbeiten|NUMMER=7|ARBEIT=Eine Ticketagentur verkauft Karten für ein sehr begehrtes Konzert. Schon eine Stunde nach Freischaltung sind die Karten fast ausverkauft. Die Funktion f mit f(t)=0,05t<sup>3</sup>-3t<sup>2</sup>+45,2t beschreibt näherungsweise die Anzahl der Karten, die pro Minute zu einer bestimmten Zeit verkauft werden für die ersten dreißig Minuten des Verkaufs t=0 steht für den Zeitpunkt der Freischaltung der Hotline. Löse die Aufgabe in deinem Heft.}}<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?<br />
<br /> <popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
<br /> <popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<br /> <popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=29,933 </popup>
<span style="color:blue"> d) </span> Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?
<br /> <popup name="Hilfestellung 1"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung) </popup>
<br /> <popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<br /> <popup name="Lösung"> Der Wendepunkt liegt bei t=20. </popup>

Version vom 20. Oktober 2017, 06:36 Uhr

Vorlage:Arbeiten

a) Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?

Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<popup name="Lösung"> 24,5 km/h </popup>


b) Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?

Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.
<popup name="Lösung"> Er steht von Minute 5 bis 7 vor der Ampel und die Steigung des Graphen ist in dieser Zeit 0. </popup>

c) Beschreibe den Fahrtverlauf der ersten 12 Minuten stichpunktartig.

<popup name="Hilfestellung"> Schau dir den Graphen Stück für Stück an. Wie ist die Steigung (positiv, negativ, null) und was bedeutet dies im Sachzusammenhang?

<popup name="genauere Hilfestellung"> Eine positive Steigeung bedeutet, dass Herr Müller mit seinem Auto fährt. Ist die Steigung stark, so fährt er eine lange Strecke in kurzer Zeit, d.h. er fährt schnell. Ist die Steigung schwach, fährt er langsam. Ist die Steigung Null (siehe Aufgabe b)) steht das Atuo. Eine negative Steigung macht in diesem Zusammenhang nicht so viel Sinn, da ein Fahrtenschreiber, selbst wenn Herr Müller nach hause zurück fahren würde, aufschreibt, dass das Atuo vorwärts fährt. </popup>
<popup name="Lösung"> In den ersten zwei Minuten ist die Steigung des Graphen noch relativ schwach. Das heißt, dass Herr Müller langsam fährt. In den Mintuen drei bis fünf, weist der Graph eine stärkere Steigung auf, was bedeutet, dass Herr Müller in dieser Zeit schneller gefahren ist. Von Minute fünf bis sieben, steht Herr Müller mit seinem Auto (vor einer Ampel). Dies wird dadruch deutlich, dass die Steigung des Graphen Null ist. Bis Minute zwölf nimmt die Steigung nun immer weiter zu. Also wird das Atuo von Herrn Müller immer schneller. </popup>


Vorlage:Arbeiten a) Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!

https://ggbm.at/J94wAFh3


b) Bestimme die Steigung des Balls an den verschiedenen Punkten der Flugkurve.


c) Ordne die Begriffe und Interpretationen den Markierungen auf dem Graphen zu. Hierzu musst die verschiedenen Markierungen anklicken und anschließend eine der vorgeschlagenen Möglichkeiten auswählen.


d) Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.



Vorlage:Arbeiten

Vorlage:Arbeiten
a) Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

<popup name="Lösung"> f(30)=0,83 Die Fichte wächst im 30. Jahr 83cm. </popup>

b) Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
<popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=20 und die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 1,1 Meter. </popup>

Vorlage:Arbeiten

a) Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr.
<popup name="Hilfestellung"> t=7,5 </popup>
<popup name="Lösung"> h(7,5)=...≈10,37 </popup>

b) Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.
<popup name="Hilfestellung"> Differenzenquotient </popup>
<popup name="Lösung">(h(8)-h(0))/(8-0)=...=0.16 </popup>

c) Ermittel den Zeitpunkt, zu dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.
<popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösungen"> Extremstelle liegt bei t= 32/3 (und t=0). Hochpunkt ist H(32/3 | 5771/540). Der Wasserstand liegt bei etwas 10,69 m. </popup>

d) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch.
<popup name="Hilfestellung 1"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung) </popup>
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<popup name="Lösungen"> Wendestelle liegt bei t=16/3. Daraus folgt, dass der Wasserstand nach 5 Stunden und 20 Minuten am schnellsten anstieg. </popup>

Vorlage:Arbeiten
a) Wie viele Besucher hatte die Internetseite um 10 Uhr?

Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.

<popup name="Lösung"> Es sind 270 Besucher </popup>

b) Wie viele Nutzer sind von 8 bis 10 Uhr im Durchschnitt pro Stunde dazu gekommen?

Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<popup name="Lösung"> Es sind 206 Nutzer pro Stunde </popup>

c) Zu welchem Zeitpunkt hat sich die Bescuherzahl durchschnittlich am stärksten geändert?

Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<popup name="genauere Hilfe"> Die Stelle an der ein Graph die stärkste Änderung (der Steigung) hat, heißt Wendestelle.
Um eine Wendestelle zu berechnen müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:
notwendige Bedingun: f´´(t) = 0
hinreichende Bedingung: f´´´(t) ≠ 0 </popup>
<popup name="Lösung"> Bei t=10 </popup>

d) Zu welcher Uhrzeit haben die meisten Besucher die Internetseite besucht?

Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an!
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.


<popup name="Lösung"> Bei t = 15 </popup>

Vorlage:Arbeiten
a) Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?

<popup name="Hilfestellung 1"> Extrempunkt (Hochpunkt) </popup>
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=29,933 </popup> d) Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?
<popup name="Hilfestellung 1"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung) </popup>
<popup name="Hilfestellung 2"> Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Wendepunkt liegt bei t=20. </popup>

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