Benutzer:Niklas WWU-6: Unterschied zwischen den Versionen
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Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein können an der Aufgabe 3. | Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein können an der Aufgabe 3. | ||
: a) <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | {{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | ||
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|2= Lösung |3=Lösung}} | |2= Lösung |3=Lösung}} | ||
: b) <math> g(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 </math> | |||
{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | {{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | ||
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - | ;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 3x^{2} - 4x - 5</math>. | ||
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen: | :Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen: | ||
:<math> | :<math>3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3</math> | ||
:<math>\ | :<math>x^{2}-2x-\frac{5}{3}\;\;\;\;\;|PQ-Formel anwenden</math> | ||
:<math>\ | :<math>x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}}</math> | ||
:<math>x_{1/2} = -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}</math> | |||
:<math>\;\;\;= 2 + 2</math><br> | |||
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>. | ;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>. | ||
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math> | :Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math> | ||
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|2= Lösung |3=Lösung}} | |2= Lösung |3=Lösung}} | ||
: c) <math> h(x) = 5ax^{5} -2x^{3} </math> mit <math> a \in (0,4)</math> | |||
| Arbeitsmethode}} | | Arbeitsmethode}} |
Version vom 10. April 2020, 17:39 Uhr
- Seminar: Digitale Werkzeuge in der Schule
- Projekt: Basiswissen Analysis
- Lernpfad: Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung
- betreut von: Lena Frenken und Maurice Krause
Extrema
Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können.
Art der Extremstelle | Notwendiges Kriterium | Hinreichendes Kriterium |
---|---|---|
Hochpunkt | und < | |
Tiefpunkt | und > | |
Sattelpunkt | und = |
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