Benutzer:Lena F. WWU-5/LGS

Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 1

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $2x + 3y =13$ $II)$ $8x + 3y = 16$	$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$ $II)$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$	$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$ $II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$ $III)$ $-x + y + z =15$

Du kannst das Additionsverfahren nutzen.

x = \frac{1}{2}

,

y = 4

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $8x + 3y = 16$

Addiere Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$ .

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $6x + 0y = 3$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$ .

$6x + 0y = 3$ $|:6$

$x = \frac{3}{6}$

$x = \frac{1}{2}$

Setze den x-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$2 \cdot \frac{1}{2} + 3y =13$

$1 + 3y = 13$ $| -1$

$3y = 12$

$y = 4$

Lösung:

x = \frac{1}{2}

,

y = 4

.

Aufgabe 2

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

II)

\frac{1}{4}x - 2y = -3

Multipliziere die Gleichung

II)

mit 2 und wende dann das Additionsverfahren an.

Bei der Multiplikation von Brüchen werden Zähler mit Zähler multipliziert und Nenner mit Nenner multipliziert.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

\frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

$II)$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$

Multipliziere Gleichung $II)$ mit 2.

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II)$ $\frac{1}{2}x - 4y = -6$

Addiere die Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$ .

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II)$ $2x + 0y = 24$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$ .

$2x + 0y = 24$ $|:2$

$x = 12$

Setze den x-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$\frac{3}{2} \cdot 12 + 4y = 30$

$\frac{36}{2} + 4y = 30$

$18 + 4y = 30$ $| -18$

$4y = 12$ $| :4$

$y = 3$

Lösung:

x = 12

,

y = 3

.

Aufgabe 3

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

III)

-x + y + z =15

Du kannst das Additionsverfahren nutzen, um Variablen zu eliminieren.

Man dividiert Brüche, indem man sie mit dem Kehrwert multipliziert.

$\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20}{20} = 1

$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

$III)$ $-x + y + z =15$

Addiere die Gleichung $I)$ und $II)$ und die Gleichung $I)$ und $III)$

$I)$ $x + \frac{1}{2} y - z = 15$

$II)$ $2x + 0y + 0z = 20$

$III)$ $0x + \frac{3}{2} y + 0z = 30$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$ und $III)$ .

$II)$ $2x = 20$ $|:2$

$II)$ $x = 10$

$III)$ $\frac{3}{2}y = 30$ $| \cdot \frac{2}{3}$

$III)$ $y = 20$

Setze den x-Wert und den y-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$10 + \frac{1}{2} \cdot 20 - z = 15$

$10 + 10 - z = 15$

$20 - z = 15$ $| -20$

$-z = -5$ $| \cdot (-1)$

$z = 5$

Lösung:

x = 10

,

y = 20

,

z = 5

.

Aufgabe 4

Anna und Max sind im Freibad und kaufen sich etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 EURO. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,60 EURO .

Wie viel kostet ein Burger? Wie viel kostet eine Portion Pommes?

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du dir ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Burger stehen, die andere könnte die Anzahl der Portionen Pommes repräsentieren.

Die Variable x steht für die Burger. Die Variable y steht für die Portion Pommes. Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I)$ $x + 2y = 5,10$

$II)$ $2x + 2y = 7,20$

Subtrahiere die Gleichung $I)$ von der Gleichung $II)$ .

$I)$ $x + 2y = 5,10$

$II)$ $x + 0y = 2,10$

Setze nun den x-Wert in die Gleichung $I)$ ein.

$I)$ $2,10 + 2y = 5,10$ $| -2,10$

$I)$ $2y = 3$ $|:2$

$I)$ $y = 1,50$

Die Lösung des Gleichungssystems ist

x = 2,10

und

y= 1,50

. Also kostet ein Burger 2,10 EURO und eine Portion Pommes kostet 1,50 EURO.

Aufgabe 5

In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du dir ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Viererzimmer, die andere könnte für die Anzahl der Sechserzimmer stehen.

Überlege dir, wie viele Jugendliche in einem Viererzimmer und wie viele in einem Sechserzimmer übernachten können und wie dies im Verhältnis zu den 92 Jugendlichen steht.

Additionsverfahren

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Addiere das (-4)-fache von Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$ .

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $0x + 2y = 12$

Löse nun die Gleichung $II)$ .

$II)$ $2y = 12$ $|:2$

$II)$ $y = 6$

Setze den y-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$I)$ $x + 6 = 20$ $|-6$

$I)$ $x = 14$

Einsetzungsverfahren

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Löse Gleichung $I)$ nach x auf.

$I)$ $x + y = 20$ $|-y$

$I)$ $x = 20 - y$

Setze nun die Gleichung für x in $II)$ ein und löse nach y auf.

$II)$ $4(20-y) + 6y = 92$

$II)$ $80 - 4y + 6y = 92$

$II)$ $80 + 2y = 92$ $|-80$

$II)$ $2y = 12$ $|:2$

$II)$ $y = 6$

Es gibt also 12 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 6

Person 1 und Person 2 besitzen zusammen 40 EURO mehr als Person 3. Person 1 und Person 3 besitzen zusammen 50 EURO mehr als Person 2. Person 2 und Person 3 besitzen zusammen 10 EURO mehr als Person 1. Wie viel besitzt jede Person?

Person A besitzt das Vermögen a, Person B besitzt das Vermögen b und Person C besitzt das Vermögen c. Wenn Person A und Person B zusammen 30 EURO mehr besitzen als Person C, so gilt