Benutzer:Lena F. WWU-5/LGS

Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 1

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $2x + 3y =13$

II)

8x + 3y = 16

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $8x + 3y = 16$

Addiere Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$ .

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $6x + 0y = 3$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$ .

$6x + 0y = 3$ $|:6$

$x = \frac{3}{6}$

$x = \frac{1}{2}$

Setze den x-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$2 \cdot \frac{1}{2} + 3y =13$

$1 + 3y = 13$ $| -1$

$3y = 12$

$y = 4$

Lösung:

x = \frac{1}{2}

,

y = 4

.

Aufgabe 2

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

II)

\frac{1}{4}x - 2y = -3

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

$II)$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$

Multipliziere Gleichung $I)$ mit 2.

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II)$ $\frac{1}{2}x - 4y = -6$

Addiere die Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$ .

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II)$ $2x + 0y = 24$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$ .

$2x + 0y = 24$ $|:2$

$x = 12$

Setze den x-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$\frac{3}{2} \cdot 12 + 4y = 30$

$\frac{36}{2} + 4y = 30$

$18 + 4y = 30$ $| -18$

$4y = 12$ $| :4$

$y = 3$

Lösung:

x = 12

,

y = 3

.

Aufgabe 3

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

III)

-x + y + z =15

$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

$III)$ $-x + y + z =15$

Addiere die Gleichung $I)$ und $II)$ und die Gleichung $I)$ und $III)$

$I)$ $x + \frac{1}{2} y - z = 15$

$II)$ $2x + 0y + 0z = 20$

$III)$ $0x + \frac{3}{2} y + 0z = 30$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$ und $III)$ .

$II)$ $2x = 20$ $|:2$

$II)$ $x = 10$

$III)$ $\frac{3}{2}y = 30$ $| \cdot \frac{2}{3}$

$III)$ $y = 20$

Setze den x-Wert und den y-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$10 + \frac{1}{2} \cdot 20 - z = 15$

$10 + 10 - z = 15$

$20 - z = 15$ $| -20$

$-z = -5$ $| \cdot (-1)$

$z = 5$

Lösung:

x = 10

,

y = 20

,

z = 5

.

Aufgabe 4

Anna und Max sind im Freibad und kaufen sich etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 EURO. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,60 EURO .

Wie viel kostet ein Burger? Wie viel kostet eine Portion Pommes?

Die Variable x steht für die Burger. Die Variable y steht für die Portion Pommes. Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I)$ $x + 2y = 5,10$

$II)$ $2x + 2y = 7,20$

Subtrahiere die Gleichung $I)$ von der Gleichung $II)$ .

$I)$ $x + 2y = 5,10$

$II)$ $x + 0y = 2,10$

Setze nun den x-Wert in die Gleichung $I)$ ein.

$I)$ $2,10 + 2y = 5,10$ $| -2,10$

$I)$ $2y = 3$ $|:2$

$I)$ $y = 1,50$

Die Lösung des Gleichungssystems ist

x = 2,10

und

y= 1,50

. Also kostet ein Burger 2,10 EURO und eine Portion Pommes kostet 1,50 EURO.

Aufgabe 5

In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Additionsverfahren

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Addiere das (-4)-fache von Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$ .

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $0x + 2y = 12$

Löse nun die Gleichung $II)$ .

$II)$ $2y = 12$ $|:2$

$II)$ $y = 6$

Setze den y-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$I)$ $x + 6 = 20$ $|-6$

$I)$ $x = 14$

Einsetzungsverfahren

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Löse Gleichung $I)$ nach x auf.

$I)$ $x + y = 20$ $|-y$

$I)$ $x = 20 - y$

Setze nun die Gleichung für x in $II)$ ein und löse nach y auf.

$II)$ $4(20-y) + 6y = 92$

$II)$ $80 - 4y + 6y = 92$

$II)$ $80 + 2y = 92$ $|-80$

$II)$ $2y = 12$ $|:2$

$II)$ $y = 6$

Es gibt also 12 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 6

Person 1 und Person 2 besitzen zusammen 40 EURO mehr als Person 3. Person 1 und Person 3 besitzen zusammen 50 EURO mehr als Person 2. Person 2 und Person 3 besitzen zusammen 10 EURO mehr als Person 1. Wie viel besitzt jede Person?

$I)$ $x + y - z = 40$