Benutzer:Lena F. WWU-5/LGS

Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 1

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $8x + 3y = 16$

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $8x + 3y = 16$

Addiere Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$.

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $6x + 0y = 3$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$.

$6x + 0y = 3$ $|:6$

$x = \frac{3}{6}$

$x = \frac{1}{2}$

Setze den x-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$2 \cdot \frac{1}{2} + 3y =13$

$1 + 3y = 13$ $| -1$

$3y = 12$

$y = 4$

Lösung:

$x = \frac{1}{2}$ , $y = 4$.

Aufgabe 2

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

$II)$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

$II)$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$

Multipliziere Gleichung $I)$ mit 2.

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II)$ $\frac{1}{2}x - 4y = -6$

Addiere die Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$.

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II)$ $2x + 0y = 24$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$.

$2x + 0y = 24$ $|:2$

$x = 12$

Setze den x-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$\frac{3}{2} \cdot 12 + 4y = 30$

$\frac{36}{2} + 4y = 30$

$18 + 4y = 30$ $| -18$

$4y = 12$ $| :4$

$y = 3$

Lösung:

$x = 12$ , $y = 3$.

Aufgabe 3

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

$III)$ $-x + y + z =15$

$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

$III)$ $-x + y + z =15$

Addiere die Gleichung $I)$ und $II)$ und die Gleichung $I)$ und $III)$

$I)$ $x + \frac{1}{2} y - z = 15$

$II)$ $2x + 0y + 0z = 20$

$III)$ $0x + \frac{3}{2} y + 0z = 30$

Berechne die Lösung für Gleichung $II)$ und $III)$.

$II)$ $2x = 20$ $|:2$

$II)$ $x = 10$

$III)$ $\frac{3}{2}y = 30$ $| \cdot \frac{2}{3}$

$III)$ $y = 20$

Setze den x-Wert und den y-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$10 + \frac{1}{2} \cdot 20 - z = 15$

$10 + 10 - z = 15$

$20 - z = 15$ $| -20$

$-z = -5$ $| \cdot (-1)$

$z = 5$

Lösung:

$x = 10$ , $y = 20$ , $z = 5$.

Aufgabe 4

Anna und Max sind im Freibad und kaufen sich etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 EURO. Max bestellt 2 Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,60 EURO .

Wie viel kostet ein Burger? Wie viel kostet eine Portion Pommes?

Die Variable x steht für die Burger. Die Variable y steht für die Portion Pommes. Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I)$ $x + 2y = 5,10$

$II)$ $2x + 2y = 7,20$

Subtrahiere die Gleichung $I)$ von der Gleichung $II)$.

$I)$ $x + 2y = 5,10$

$II)$ $x + 0y = 2,10$

Setze nun den x-Wert in die Gleichung $I)$ ein.

$I)$ $2,10 + 2y = 5,10$ $| -2,10$

$I)$ $2y = 3$ $|:2$

$I)$ $y = 1,50$

Die Lösung des Gleichungssystems ist $x = 2,10$ und $y= 1,50$. Also kostet ein Burger 2,10 EURO und eine Portion Pommes kostet 1,50 EURO.

Aufgabe 5

In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Additionsverfahren

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Addiere das (-4)-fache von Gleichung $I)$ zu Gleichung $II)$.

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $0x + 2y = 12$

Löse nun die Gleichung $II)$.

$II)$ $2y = 12$ $|:2$

$II)$ $y = 6$

Setze den y-Wert in Gleichung $I)$ ein.

$I)$ $x + 6 = 20$ $|-6$

$I)$ $x = 14$

Einsetzungsverfahren

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Löse Gleichung $I)$ nach x auf.

$I)$ $x + y = 20$ $|-y$

$I)$ $x = 20 - y$

Setze nun die Gleichung für x in $II)$ ein und löse nach y auf.

$II)$ $4(20-y) + 6y = 92$

$II)$ $80 - 4y + 6y = 92$

$II)$ $80 + 2y = 92$ $|-80$

$II)$ $2y = 12$ $|:2$

$II)$ $y = 6$

Es gibt also 12 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 6

Person 1 und Person 2 besitzen zusammen 40 EURO mehr als Person 3. Person 1 und Person 3 besitzen zusammen 50 EURO mehr als Person 2. Person 2 und Person 3 besitzen zusammen 10 EURO mehr als Person 1. Wie viel besitzt jede Person?

$I)$ $x + y - z = 40$  

$II)$ $x - y + z = 50$ $III)$ $-x + y + z = 10$ Addiere die Gleichungen $I)$ zur Gleichung $II)$ und die Gleichung $I)$ zur Gleichung $III)$. $I)$ $x + y - z = 40$ $II)$ $2x = 90$ $III)$ $2y = 50$ Löse nun die Gleichungen $I)$ und $II)$. $II)$ $2x = 90$ $|:2$ $II)$ $x = 45$

$III)$ $2y = 50$ $|:2$ $III)$ $y = 25$ Setze nun den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung $I)$ ein. $I)$ $45 + 25 - z = 40$ $I)$ $70 - z = 40$ $|-70$ $I)$ $- z = -30$ $| \cdot (-1)$ $I)$ $z = 30$

Die erste Person hat 45 EURO, die zweite 25 EURO und die dritte 30 EURO.