Benutzer:Lena F. WWU-5/LGS

Lineare Gleichungssysteme

Wiederholung: lineare Gleichungssysteme lösen

Für das Lösen von Gleichungssystemen gibt es mehrere Verfahren. Grundsätzlich sind alle Verfahren zielführend.

Beim Additionsverfahren überlegst du dir, welche Variable du eliminieren bzw. auf Null bringen kannst. Dann entscheidest du, was du tun musst, damit die Variable wegfällt.

Ein Beispiel:

$I)$ $7x + 2y = 9$

$II)$ $4x - 2y = 2$

Hier bietet es sich an, die Gleichung I) mit der Gleichung II) zu addieren, damit die Variable y wegfällt:

$I)$ $11x + 0y = 11$

$II)$ $4x - 2y = 2$

Nun kannst du die Gleichung I) berechnen.

$I)$ $11x + 0y = 11$ $|:2$

$I)$ $x = 1$

Den errechneten x-Wert kannst du nun in die Gleichung II) einsetzen.

$II)$ $4 \cdot 1 - 2y = 2$

$II)$ $4 - 2y = 2$ $|-4$

$II)$ $-2y = -2$ $|:(-2)$

$II)$ $y = 1$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/additionsverfahren an.

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diesen Term in die andere Geichung ein.

Ein Beispiel:

$I)$ $2x + y = 4$

$II)$ $5x + 3y = 11$

Hier bietet es sich an die Gleichung I) nach der Variablen y aufzulösen.

$I)$ $2x + y = 4$ $|-2x$

$I)$ $y = 4 - 2x$

Nun setzt du diesen Term für y in Gleichung II) ein.

$II)$ $5x + 3 (4-2x) = 11$

$II)$ $5x + 12 - 6x = 11$

$II)$ $12 - x = 11$

$II)$ $x = 1$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/einsetzungsverfahren an.

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und stellst diese gleich.

Ein Beispiel:

$I)$ $x + 2y = 5$

$II)$ $x + y = 4$

Löse beide Gleichungen nach x auf.

$I)$ $x + 2y = 5$ $|-2y$

$I)$ $x = 5 - 2y$

$II)$ $x + y = 4$ $|-y$

$II)$ $x = 4 - y$

Nun kannst du die Gleichungen gleichsetzten.

$4 - y = 5 - 2y$

$y = 1$

Den errechneten y-Wert kannst du nun in eine Gleichung deiner Wahl einsetzen und die Gleichung lösen.

$II)$ $x + 1 = 4$ $|-1$

$II)$ $x = 3$

Schau dir weitere Beispiele und Erklärungen unter https://www.mathebibel.de/gleichsetzungsverfahren an.

Aufgabe 1

Überlege, welches Verfahren zum Lösen der Gleichungssysteme am sinnvollsten wäre. Denke daran, dass grundsätzlich alle Verfahren zielführend sind.

Aufgabe 2

Löse das folgende Gleichungssystem in deinem Heft bzw. Collegeblock:

a)	b)	c)
$I)$ $2x + 3y =13$	$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$	$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$
$II)$ $8x + 3y = 16$	$II)$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$	$II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$
		$III)$ $-x + y + z =15$

$x = \frac{1}{2}$ , $y = 4$

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $8x + 3y = 16$

Addiere Gleichung I) zur Gleichung II).

$I)$ $2x + 3y =13$

$II)$ $6x + 0y = 3$

Berechne die Lösung für Gleichung II).

$II)$ $6x + 0y = 3$ $|:6$

$II)$ $x = \frac{3}{6}$

$II)$ $x = \frac{1}{2}$

Setze den x-Wert in Gleichung I) ein.

$I)$ $2 \cdot \frac{1}{2} + 3y =13$

$I)$ $1 + 3y = 13$ $| -1$

$I)$ $3y = 12$

$I)$ $y = 4$

Lösung:

$x = \frac{1}{2}$ , $y = 4$.

$x = 12$ , $y = 3$

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y =30$

$II)$ $\frac{1}{4}x - 2y = -3$

Multipliziere Gleichung II) mit 2.

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II)$ $\frac{1}{2}x - 4y = -6$

Addiere die Gleichung I) zu Gleichung II).

$I)$ $\frac{3}{2}x + 4y = 30$

$II)$ $2x + 0y = 24$

Berechne die Lösung für Gleichung II).

$II)$ $2x + 0y = 24$ $|:2$

$II)$ $x = 12$

Setze den x-Wert in Gleichung I) ein.

$I)$ $\frac{3}{2} \cdot 12 + 4y = 30$

$I)$ $\frac{36}{2} + 4y = 30$

$I)$ $18 + 4y = 30$ $| -18$

$I)$ $4y = 12$ $| :4$

$I)$ $y = 3$

Lösung:

$x = 12$ , $y = 3$.

$x = 10$ , $y = 20$ , $z = 5$

$I)$ $x + \frac{1}{2}y - z =15$

$II)$ $x - \frac{1}{2}y + z = 5$

$III)$ $-x + y + z =15$

Addiere die Gleichung I) und II) und die Gleichung I) und III).

$I)$ $x + \frac{1}{2} y - z = 15$

$II)$ $2x + 0y + 0z = 20$

$III)$ $0x + \frac{3}{2} y + 0z = 30$

Berechne die Lösung für Gleichung II) und III).

$II)$ $2x = 20$ $|:2$

$II)$ $x = 10$

$III)$ $\frac{3}{2}y = 30$ $| \cdot \frac{2}{3}$

$III)$ $y = 20$

Setze den x-Wert und den y-Wert in Gleichung I) ein.

$I)$ $10 + \frac{1}{2} \cdot 20 - z = 15$

$I)$ $10 + 10 - z = 15$

$I)$ $20 - z = 15$ $| -20$

$I)$ $-z = -5$ $| \cdot (-1)$

$I)$ $z = 5$

Lösung:

$x = 10$ , $y = 20$ , $z = 5$.

Aufgabe 4

Anna und Max sind im Freibad und kaufen sich etwas zu essen. Anna bestellt einen Burger und zwei Portionen Pommes. Dafür zahlt sie 5,10 €. Max bestellt zwei Burger und zwei Portionen Pommes und zahlt 7,60 € .

Wie viel kostet ein Burger? Wie viel kostet eine Portion Pommes?

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du dir ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Burger stehen, die andere könnte die Anzahl der Portionen Pommes repräsentieren.

Ein Burger kostet 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.

Die Variable x steht für die Burger. Die Variable y steht für die Portion Pommes. Das zu lösende Gleichungssystem ist:

$I)$ $x + 2y = 5,10$

$II)$ $2x + 2y = 7,20$

Subtrahiere die Gleichung I) von der Gleichung II).

$I)$ $x + 2y = 5,10$

$II)$ $x + 0y = 2,10$

Setze nun den x-Wert in die Gleichung I) ein.

$I)$ $2,10 + 2y = 5,10$ $| -2,10$

$I)$ $2y = 3$ $|:2$

$I)$ $y = 1,50$

Die Lösung des Gleichungssystems ist $x = 2,10$ und $y= 1,50$. Also kostet ein Burger 2,10 € und eine Portion Pommes kostet 1,50 €.

Aufgabe 5

In einer Jugendherberge gibt es 20 Zimmer, aufgeteilt in Vier- und Sechsbettzimmer. Insgesamt können 92 Jugendliche untergebracht werden. Wie viele Vier- bzw. Sechsbettzimmer gibt es?

Du kannst die Aufgabe lösen, indem du dir ein Gleichungssystem für zwei Variablen (z.B. x und y) aufstellst. Eine Variable könnte für die Anzahl der Viererzimmer, die andere könnte für die Anzahl der Sechserzimmer stehen.

Überlege dir, wie viele Jugendliche in einem Viererzimmer und wie viele in einem Sechserzimmer übernachten können und wie dies im Verhältnis zu den 92 Jugendlichen steht.

Es gibt also 12 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Die Variable x steht für die Anzahl der Vierbettzimmer und die Variable y steht für die Anzahl der Sechsbettzimmer. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem:

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Du kannst dir aussuchen, welches Verfahren du anwenden möchtest.

Mit dem Additionsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Addiere das (-4)-fache von Gleichung I) zu Gleichung II).

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $0x + 2y = 12$

Löse nun die Gleichung II).

$II)$ $2y = 12$ $|:2$

$II)$ $y = 6$

Setze den y-Wert in Gleichung I) ein.

$I)$ $x + 6 = 20$ $|-6$

$I)$ $x = 14$

Mit dem Einsetzungsverfahren löst du das Gleichungssystem wie folgt:

$I)$ $x + y = 20$

$II)$ $4x + 6y = 92$

Löse Gleichung I) nach x auf.

$I)$ $x + y = 20$ $|-y$

$I)$ $x = 20 - y$

Setze nun die Gleichung für x in II) ein und löse nach y auf.

$II)$ $4(20-y) + 6y = 92$

$II)$ $80 - 4y + 6y = 92$

$II)$ $80 + 2y = 92$ $|-80$

$II)$ $2y = 12$ $|:2$

$II)$ $y = 6$

Es gibt also 12 Vierbettzimmer und 6 Sechsbettzimmer.

Aufgabe 6

Person 1 und Person 2 besitzen zusammen 40 € mehr als Person 3. Person 1 und Person 3 besitzen zusammen 50 € mehr als Person 2. Person 2 und Person 3 besitzen zusammen 10 € mehr als Person 1. Wie viel besitzt jede Person?

Person A besitzt das Vermögen a, Person B besitzt das Vermögen b und Person C besitzt das Vermögen c. Wenn Person A und Person B zusammen 30 EURO mehr besitzen als Person C, so gilt

$a + b - c = 30$.

Die erste Person hat 45 €, die zweite 25 € und die dritte 30 €.

Die Variable x steht für das Vermögen der Person 1. Die Variable y steht für das Vermögen der Person 2 und die Variable z steht für das Vermögen der Person 3. Dann ist das zu lösende Gleichungssystem

$I)$ $x + y - z = 40$

$II)$ $x - y + z = 50$

$III)$ $-x + y + z = 10$

Du kannst zum Beispiel das Additionsverfahren verwenden, um das Gleichungssystem zu lösen. Addiere dazu die Gleichungen I) zur Gleichung II) und die Gleichung I) zur Gleichung III).

$I)$ $x + y - z = 40$

$II)$ $2x = 90$

$III)$ $2y = 50$

Löse nun die Gleichungen I) und II).

$II)$ $2x = 90$ $|:2$

$II)$ $x = 45$

$III)$ $2y = 50$ $|:2$

$III)$ $y = 25$

Setze nun den x-Wert und den y-Wert in die Gleichung I) ein.

$I)$ $45 + 25 - z = 40$

$I)$ $70 - z = 40$ $|-70$

$I)$ $- z = -30$ $| \cdot (-1)$

$I)$ $z = 30$

Die erste Person hat 45 €, die zweite 25 € und die dritte 30 €.