Benutzer:Johanna WWU-5/Anwendung

Anwendungsaufgaben

10. Frösche sind wahre Sprungkünstler

Das Geheimnis der bemerkenswerten Sprungkraft von Fröschen liegt in den Sehnen ihrer Hinterbeine, die zunächst durch Muskelkraft gespannt werden und den Frosch dann explosiv vorwärts katapultieren können. Frösche können damit ein Vielfaches ihrer Körpergröße weit springen. So kann der Grasfrosch beispielsweise bis zu 1 Meter weit springen. In den Rieselfeldern in Münster wurde vor ein paar Tagen der Sprung eines solchen Grasfrosches beobachtet. Er ist von einem 18cm hohen Stein am Ufer eines Teichs ins Wasser gesprungen. Die Flugbahn des Frosches lässt sich näherungsweise durch folgende quadratische Funktion beschreiben:$f(x)=-\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18,$ wobei $x$ die Entfernung des Frosches vom Ufer des Teichs und $f(x)$ die Höhe des Frosches (jeweils in cm) beschreibt.

a) Wie hoch springt der Frosch? Und nach wie vielen Zentimetern erreicht der Frosch seinen höchsten Punkt?

Du möchtest den Punkt berechnen, an dem der Forsch am höchsten ist. Die angegebene Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Überlege dir, wo sich der höchste Punkt einer solchen Parabel befindet und wie man ihn berechnet.

Der Frosch erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ablesen zu können, musst du diese in Scheitelpunktform bringen. Du hast Probleme, die Funktion in Scheitelpunktform umzuwandeln? Aufgabe … zeigt dir genau, wie es funktioniert.

1) Umwandlung in Scheitelpunktform

$\begin{array}{rlll} f(x) &=& -\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18 &\mid -\frac{1}{50} \, \text{ausklammern} \\ &=& -\frac{1}{50}(x^2-80x-900) &\mid \, \text{quadratische} \, \text{Ergänzung} \\ &=& -\frac{1}{50}(x^2-80x+1600-1600-900) &\mid \, \text{binomische} \, \text{Formel} \, \text{anwenden} \, \text{und} \, \text{zusammenfassen} \\ &=& -\frac{1}{50}[(x-40)^2-2500] &\mid \, \text{ausmultiplizieren} \\ &=& -\frac{1}{50}(x-40)^2+50 \end{array}$

2) Scheitelpunkt ablesen

Der Scheitelpunkt der Funktion ist $S=(40,50)$.

3) Interpretieren im Anwendungskontext

Nach $40cm$ erreicht der Frosch seinen höchsten Punkt. Er befindet sich dann $50cm$ über der Wasseroberfläche. Da der Frosch vor seinem Sprung auf einem $18cm$ hohen Stein saß, ist er folglich $32cm$ hoch gesprungen.

b) In welcher Entfernung vom Ufer des Teichs taucht der Frosch ins Wasser ein?

Überlege dir auf welcher Höhe der Frosch ins Wasser taucht.

Bei diesem Aufgabenteil werden die Nullstellen der Funktion gesucht. An einer dieser Nullstellen taucht der Frosch nämlich ins Wasser ein. Überlege dir, welche Nullstelle im Anwendungskontext Sinn ergibt. Falls du Probleme hast, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, sieh dir Aufgabe … an.

1) Nullstellen berechnen durch quadratische Ergänzung

$\begin{array}{rlll} && f(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{50}\cdot(x-40)^2+50 &&=&& 0 &\mid \cdot(-50)\\ &\Leftrightarrow& (x-40)^2-2500 &&=&& 0 &\mid +2500 \\ &\Leftrightarrow& (x-40)^2 &&=&& 2500 &\mid \sqrt{} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow&(x_1-40)=50& \textrm{sowie}& (x_2-40)=-50\\ \end{array}$

Also folgt $x_1=90$ und $x_2=-10$.

2) Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel

$\begin{array}{rlll} && f(x) &&=&& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{50}x^2+\frac{8}{5}x+18 &&=&& 0 &\mid \cdot(-50)\\ &\Leftrightarrow& x^2-80x-900 &&=&& 0 &\mid +2500 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow&x_1=40+\sqrt{40^2+900}& \textrm{sowie}& x_2=40-\sqrt{2500}\\ &\Rightarrow&x_1=90 \textrm{sowie}& x_2=-10\\ \end{array}$

Also folgt $x_1=90$ und $x_2=-10$.