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Ben - Lineare Gleichungssysteme

Ben - Lineare Gleichungssysteme
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Es werden erste Versuche unternommen.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Bei linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS) hast du mehrere Gleichungen gegeben, in denen zwei oder mehr unbekannte Variablen vorkommen. Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten könnte zum Beispiel so aussehen:

(I) 6x + 2y = 18
(II) y = 3x - 3

Es besteht aus zwei Gleichungen, die jeweils zwei Variablen enthalten – in unserem Fall sind das und . Beim LGS lösen ist dein Ziel, Werte für die Variablen zu finden, sodass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:

x = 2
y = 3    

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst:

1. Gleichsetzungsverfahren:

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).

Schritt 2: Setze die Terme gleich.

Schritt 3: Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.

Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).

Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.

2. Einsetzungsverfahren:

Schritt 1: Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.

Schritt 2: Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.

Schritt 3: Berechne die noch enthaltende Variable.

Schritt 4: Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.

3. Additionsverfahren:

Schritt 1: Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.

Schritt 2: Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.

Schritt 3: Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.

Schritt 4: Berechne die andere Variablen.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.

Übungen zu den einzelnen Verfahren

1. Gleichsetzungsverfahren Aufg.:

Übung 1: Bearbeite die folgende Übung.

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