Benutzer:Frau Raunitschke/Terme Klasse 8/Was ist eine Gleichung

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Neue Idee (12/2022): Buch zu Gleichungen des FLINK-Teams auf GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/dqp5fzgz

1.1 Was ist eine Gleichung?

Kennst du eine Balkenwaage z.B. aus dem Physikunterricht oder vom Markt?
Horizontal-930716 1920.jpg oder Künstler: DTR

Diese Waagen sind im Gleichgewicht, wenn das Gewicht auf beiden Seiten der Waage gleich groß ist.
In der Mathematik liegt auf jeder Seite der Waage ein Term (Rechenausdruck). Das Gleichgewicht stellen wir mit einem Gleichheitszeichen dar.


Was ist eine Gleichung?
In einer Gleichung werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden.

Du kennst Terme (Rechenausdrücke) aus dem vorangegangenen Kapitel. Nun verbindest du zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen. Damit erhältst du eine Gleichung.


Übung 1
Entscheide in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um eine Gleichung handelt oder nicht.


Ziel ist es, für die Variablen genau die Zahl zu finden, sodass auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Wert steht. Dann ist die Waage im Gleichgewicht.
In jeder Tüte befinden sich gleich viele Klötzchen (x Stück).
Wie viele Klötzchen befinden sich in jeder Tüte, damit die Waage im Gleichgewicht ist? Tütengleichung 1.png

Übung 1 - Gleichungen aufstellen mithilfe des Waagemodells
Welche Gleichung ist dargestellt? Bearbeite das nachfolgende GeoGebra-Applet.
GeoGebra

Applet von Brigit Lachner https://www.geogebra.org/m/rd3mk2h9

1.2 Lösen durch Probieren



Übung 2 - Tütengleichungen
Löse die nachfolgende LearningApp.


Übung 3

Erfinde Tütengleichungen und lass sie von deinem Sitznachbarn lösen.

Notiert die Gleichungen und die zugehörige Lösung im Heft.

Du kannst die Gleichungen auch in der Simulation auf der Seite phet.colorado.edu nachstellen und deine Lösung prüfen.
Wähle dazu die Simulation VARIABLEN, stelle die Gleichung nach und prüfe deine Lösung, indem du für x den entsprechenden Wert einstellst (oben rechts).



Idee

Notiere eine Gleichung zur dargestellten Situation.
Tütengleichung Probieren 2.png
Setzte nun nacheinander für x die Werte ab 1 ein, finde so die richtige Lösung. (Probiere also aus, ob 1 Klötzchen in jeder Tüte sein kann oder 2 oder 3 oder ...)

x (Wert) Gleichung

x + 7 = 2·x + 1

Lösung (Ja/Nein)
1 1 + 7 = 2·1 + 1

8 = 3 (f)

Nein
2 2 + 7 = 2·2 + 1

9 = 5 (f)

Nein
3 ... ...
... ... ...

Du setzt die Werte für x immer anstelle der Variablen ein. Dann rechnest du die beiden Seiten der Gleichung aus und prüfst, ob sie denselben Wert haben. Wenn dies der Fall ist, hast du die Lösung der Gleichung gefunden.
Beispiel:
x + 7 = 2·x + 1 für x = 2
2 + 7 = 2·2 + 1
9 = 5 (f)

Die 2 ist also NICHT Lösung der Gleichung.

Lösung der Gleichung:
x = 6, denn
x + 7 = 2·x + 1 für x = 6
6 + 7 = 2·6 + 1

13 = 13 (w)


Lösung einer Gleichung
Eine Zahl ist die Lösung einer Gleichung, wenn beim Einsetzen dieser Zahl die beiden Terme den gleichen Wert haben. Es entsteht also eine wahre Aussage.

Die Lösung einer Gleichung kann durch Probieren bestimmt werden: Setze dazu für x verschiedene Zahlen ein. Prüfe, ob eine wahre (w) oder falsche (f ) Aussage entsteht.


Übung 4 - Lösen durch Probieren
Löse die nachfolgende LearningApp. Setze für x die angegebenen Zahlen ein und prüfe, ob eine wahre(w) oder falsche(f) Aussage entsteht. Gib dann die Lösung der Gleichung an.


Übung 5
Prüfe, ob die angegebene Zahl die Lösung der Gleichung ist.



Übung 6
Löse in der nachfolgenden LearningApp die Gleichung durch Probieren im Kopf.



Idee

Löse die Gleichung 4x + 98 = 6x durch Probieren.
Nutze dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm.
Tabellenblatt leer.png

Du kannst z.B. im Office-Modul in IServ eine Office-Kalkulation erstellen.
Office Kalkulationsblatt erstellen.png

Du benötigst 3 Spalten:
Spalte A: Werte von x; Spalte B: Wert der linken Seite der Gleichung; Spalte C: Wert der rechten Seite der Gleichung

Die Lösung der Gleichung ist der Wert für x, bei dem die Werte der linken und rechten Seite der Gleichung übereinstimmen.
Tabellenblatt Tipp Einstiegsaufgabe.png

Lösung:

Tabellenblatt Lösung Einstiegsaufgabe.png

Hast du noch Schwierigkeiten? Dann schau hier, wie du die Tabelle Schritt für Schritt im Office-Modul in IServ erstellen kannst:
Seitenleiste deaktivieren.png
1. Spalte Werte für x automatisch füllen.png
2. Spalte Linke Seite der Gleichung.png
3. Spalte Rechte Seite der Gleichung.png

4. Lösung der Gleichung ablesen.png



1.3 Anwendungsaufgaben

Es gibt verschiedene Bereiche, in denen Gleichungen Anwendung finden: Anwendungsbereiche Gleichungen.png


Mathematische Texte

Vorübung: Mathematische Texte
Um Zahlenrätsel lösen zu können, musst du die Fachbegriffe kennen. Übe dies im nachfolgenden Quiz

Addition: 1. Summand + 2. Summand = Wert derSumme
Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Wert der Differenz
Multiplikation: 1. Faktor2. Faktor = Wert des Produktes
Division: Dividend: Divisor = Wert des Quotienten

Addition addieren vermehren plus
Subtraktion subtrahieren vermindern minus
Multiplikation multiplizieren verdoppeln vervielfachen mal
Division dividieren halbieren teilen geteilt

Schreibe über den Aufgabentext die passenden Rechenzeichen. Dies hilft dir beim Aufstellen der Terme.

GeoGebra


Applet des FLINK-Teams Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/dpykmkvj



Geometrische Anwendungen

Vorübung: Geometrische Anwendungen
Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Geometrie erfordern Kenntnisse über verschiedene Figuren. Löse das nachfolgende Quiz zur Wiederholung.
Quadrat
Quadrat.png
u = 4·a A = a²
Rechteck
Rechteck.png
u = 2a + 2b A = a·b
gleichschenkliges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck.png
u = 2a + c 2 gleich lange Seiten α+β+γ=180°
gleichseitiges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck.png
u = 3a 3 gleich lange Seiten α+β+γ=180°



Übung 7: Gleichungen von Strecken ablesen

Löse die Übungen des FLINK-Teams auf GeoGebra zum Aufstellen von Gleichungen.


Sachsituationen

Vorübung: Sachsituationen
Ordne in der nachfolgenden LearningApp den Termen die passende Bedeutung zu.


Übung 8
Löse die folgenden Übungen des FLINK-Teams auf GeoGebra. Die Originallinks befinden sich jeweils unter den Applets.
GeoGebra

Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/qwhw9pt6

GeoGebra

Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/mda6rhc7

GeoGebra

Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/gepj3wac

GeoGebra

Originallink: https://www.geogebra.org/m/py7959ka#material/juuhvhvb

In allen Anwendungsbereichen ist es wichtig, dass du den Text genau liest, dir die Situation vorstellst und mit eigenen Worten beschreibst.