Benutzer:Buss-Haskert/Zinseszins

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Wachstum - Zinseszins

Zinseszins

In diesem Lernpfad lernst du

  • was Zinseszinsen sind,
  • welche Bedeutung Zinseszinsen für Kapitalanlage haben,
  • welcher Unterschied zwischen der Geldanlage mit und ohne Zinseszinsen besteht.

Vorwissen

Vorwissen: Zinsrechnung: Jahres-,Monats- und Tageszinsen
Wiederhole dein Wissen zur Zinsrechnung mithilfe der Aufgaben in der ANTON App.


Einstieg: Sparschwein

Sparschwein
Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.
Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.


1. Möglichkeit:
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre Guthaben(€)
0 1000
1 1050
2 1100
3 1150
... ...
18 ...
2. Möglichkeit:
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre Guthaben(€)
0 1000
1 1050
2 1102,50
3 1157,625
... ...
18 ...

Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02


Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?

Kapital nach 18 Jahren:
K18 = ...
Kapital nach 18 Jahren:
K18 = ...


Hefteintrag: Zinseszins

Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel
Kn = K0 ∙ (1+p%)n
      = K0 ∙ qn    mit q = 1+p%

Beispiel:
geg: K0 = 1000€ (Startkapital, Null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre
ges: Kn (Kapital nach n Jahren)

K18 = 1000 ∙ 1,0518
      = 2406,62 (€)

Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.


Übung 1 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

  • 1
  • 2
  • 3


Übung 2

a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren.

b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.
Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.

geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
   = 7500 ∙ 1,0155

   = 8079,63 (€)

Umstellen der Zinseszinsformel

Formel umstellen nach K0 ("Wie hoch war das Startkapital...?):
Kn = K0 ∙ qn  |:qn



Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):
Kn = K0 ∙ qn  |:K0
= qn  |
= q

Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.

Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.


Hefteintrag: Beispiele:
Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.


Übung 3 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

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  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9


Übung 4

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.

  • S. 73 Nr. 3
  • S. 73 Nr. 5a (**)
  • S. 79 Nr. 1
  • S. 83 Nr. 10
  • S. 87 Nr. 6
  • S. 87 Nr. 7

a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
K5 = K0 ∙ q5 Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
Berechne Kn durch einsetzen der Werte in die Formel.
c) geg: ...
ges: K0; p%
Stelle die Formel nach K0 um und setze dann die gegebenen Werte ein.
d) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.

Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018

Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder Kn mehr als 2000€ beträgt.

Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.

Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...

denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.

a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0

Stelle die Zinseszinsformel nach K0 um und setzte die gegebenen Werte ein.
Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)

Berechnung von Zinseszinsen mit einer Tabellenkalkulation