Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln/Rechnen mit Quadratwurzeln: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|
[[Buss-Haskert/Potenzen|1) Potenzen: Definition]]<br>
[[Buss-Haskert/Potenzen/Potenzgesetze|2) Potenzgesetze]]<br>
[[Buss-Haskert/Potenzen/Wissenschaftliche Schreibweise|3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln|4) Wurzeln: Definition]]<br>
[[Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln/Rechnen mit Quadratwurzeln|5) Rechnen mit Quadratwurzeln]]}}


==5.1 Multiplikation und Division==
===5.1 Multiplikation und Division===
'''Multiplikation und Division von Quadratwurzeln - Herleitung'''<br>
'''Multiplikation und Division von Quadratwurzeln - Herleitung'''<br>
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
<div class="grid">
<div class="grid">
  <div class="width-1-2"><math>\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=</math>...<math>\cdot</math>...=<br>
  <div class="width-1-2"><math>\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=</math>...<math>\cdot</math>... = <br>
<math>\tfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}=\tfrac{...}{...}=</math></div>
<math>\tfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}=\tfrac{...}{...}=</math></div>
  <div class="width-1-2"><math>\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{...}=</math><br>
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{{LearningApp|app=p0uhw9drn19|width=100%|height=600px}}
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{{Box|Übung 1 (*)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse  
{{Box|Übung 1 (*)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse. Notiere deine Rechnung wie folgt:<br>
2a) <math>\sqrt{0,49\cdot100}=\sqrt{0,49}\cdot\sqrt{100}=0,7\cdot10=7</math> <br>
2b) <math>\sqrt{10}\cdot\sqrt{3,6}=\sqrt{10\cdot3,6}=\sqrt{36}=6</math><br>
...
* S. 81 Nr. 2
* S. 81 Nr. 2
* S. 81 Nr. 3
* S. 81 Nr. 3
* S. 81 Nr. 4
* S. 81 Nr. 4
* S. 81 Nr. 5|Üben}}
* S. 81 Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Ziehe die Wurzel jeweils '''aus den einzelnen Faktoren''', wenn die '''Faktoren Quadratzahlen''' sind. <br>
Wenn die einzelnen Faktoren keine Quadratzahlen sind, schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen und berechne zunächst das Produkt. Dieses Produkt ist dann in der Regel eine Quadratzahl. <br>
Beispiel:<br>
2d) <math>\sqrt{400\cdot0,64}</math> Hier sind beide Faktoren jeweils Quadratzahlen, ziehe also die Wurzel und multipliziere dann die Ergebnisse.<br>
2c) <math>= \sqrt{400}\cdot\sqrt{0,64}
= 20 \cdot0,8
=16</math><br><math>\sqrt{2,5}\cdot\sqrt{0,9}</math> Hier sind die Zahlen unter der Wurzel (Radikanden) KEINE Quadratzahlen, schreibe also zunächst das Produkt unter eine Wurzel:<br>
<math>= \sqrt{2,5\cdot0,9}
= \sqrt{2,25}
</math> Das Produkt 2,25 ist eine Quadratzahl, hier kannst du wieder im Kopf die Wurzel berechnen.<br>
= 1,5
<br>|2=Entscheidungshilfe: Zuerst Wurzel ziehen oder unter ein Wurzelzeichen schreiben?|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=4a)<br>
<math>\sqrt{...} \cdot \sqrt{289}</math> = 34 &nbsp;&nbsp;&#124;Hier siehst du, dass 289 eine Quadratzahl ist, also <br>
<math>\sqrt{...} \cdot</math>&nbsp; 17 = 34  <br>
Welche Zahl musst du mit 17 multiplizieren, damit das Produkt 34 beträgt? 2! <br>
Überlege, welche Zahl unter der Wurzel stehen muss, damit die Wurzel 2 beträgt? 2² = 4! Also:<br>
<math>\sqrt{4} \cdot \sqrt{289}</math> = 34<br>
4b)<br>
<math>\sqrt{14..} \cdot \sqrt{3}</math> = 21 &nbsp;&nbsp;&#124;Hier siehst du, dass 3 KEINE Quadratzahl ist, also schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen:<br>
<math>\sqrt{14..\cdot 3}</math> = <math>\sqrt{21^2}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;21² = 441<br>
Welche Zahl musst du mit 3 multiplizieren, damit das Produkt 441 beträgt? 147! Also:<br>
<math>\sqrt{147} \cdot \sqrt{3}</math> = 21|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}
<br>
===5.2 Teilweises Wurzelziehen===
<br>
<br>
==5.2 Teilweises Wurzelziehen==
{{Box|1=Teilweises Wurzelziehen|2=
{{Box|1=Teilweises Wurzelziehen|2=
Durch Zerlegen des Radikanden in ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, kannst du teilweise die Wurzel ziehen:
Durch Zerlegen des Radikanden in ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, kannst du teilweise die Wurzel ziehen:
<math>\sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=a\cdot\sqrt{b}</math> für <math> a, b \ge 0 </math>
<math>\sqrt{a^2\cdot b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=a\cdot\sqrt{b}</math> für <math> a, b \ge 0 </math>
|3=Arbeitsmethode}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|wOleeZOyrfE|800|center}}
{{#ev:youtube|wOleeZOyrfE|800|center}}
{{Box|Übung 2(**)|Löse die Aufgaben <br>
 
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu02.htm '''Übung a''']<br>
{{Box|Übung 2(**)|*Löse die LearningApp.
[http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmwu03.htm '''Übung b''']|Üben}}
* Sammle minstestens 300 Punkte bei den Übungen auf realmath. [https://realmath.de/Neues/Klasse9/reellezahlen/radizieren02.php Übung: Teilweises Wurzelziehen (realmath)]|Üben}}
{{Box|Übung 3(**)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse  
{{LearningApp|app=phu3ku41a22|width=100%|height=600px}}
<br>
{{Box|Übung 3(**)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.
* S. 81 Nr. 7
* S. 81 Nr. 7
* S. 81 Nr. 9|Üben}}
* S. 81 Nr. 9|Üben}}
{{Box|Übung 4(***)|Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse  
{{Lösung versteckt|1=Beispielrechnung:<br>
* S. 81 Nr. 10
<math>\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}</math><br>
* S. 81 Nr. 11
Idee: Zerlege den Radikanden in ein Produkt, wobei ein Faktor eine QUADRATZAHL ist. Ziehe dann getrennt die Wurzel aus den beiden Faktoren|2=Beispielrechnung zu Nr. 7|3=Verbergen}}
* S. 81 Nr. 12|Üben}}
{{Box|Übung 4(***)|Wähle aus: Sammle mindestens 10 Sternchen. Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.
* S. 81, Nr. 10 a-d (*)
* S. 81, Nr. 10 e-h (**)
* S. 81, Nr. 11 a-d (*)
* S. 81, Nr. 11 e-f (**)
* S. 81, Nr. 12 a-b (**)
* S. 81, Nr. 12 c-d (***)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br>
10a) <math>\sqrt{9x}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x}=3\sqrt{x}</math> 9 ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.<br>
b) <math>\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2}=\sqrt{5}\cdot a</math> a² ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.<br>|2=Beispiel zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=und nun wird es schwieriger<br>
f)<math>\sqrt{27s^2t^3} = \sqrt{9\cdot3s^2t^2t} = 3st\sqrt{3t}</math><br>Zerlege die Faktoren in Quadratzahlen und ziehe dann die Wurzel aus den einzelnen Faktoren.|2=Tipp zu 10f|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
<math>\sqrt{\tfrac{x^3}{9y}} = \tfrac{\sqrt{x^2x}}{\sqrt{9}\sqrt{y}} = \tfrac{x\sqrt{x}}{3\sqrt{y}}</math><br>
Auch hier ist die Idee, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte aus Quadratzahlen zu zerlegen und dann einzeln die Wurzel zu ziehen.|2=Tipp zu 10h|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Idee ist wiederum, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte von Quadratzahlen zu zerlegen:<br>
<math>\sqrt{\tfrac{32xy^2}{25}} = \sqrt{\tfrac{16\cdot y^2 \cdot 2\cdot x}{25}} = ...</math>|2=Tipp zu 10i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Beispiel:<br>
11a)<math>\sqrt{\tfrac{2y^2}{18}}=\sqrt{\tfrac{1y^2}{9}} = \tfrac{\sqrt{1}\cdot\sqrt{y^2}}{\sqrt{9}} = \tfrac{y}{3}</math> Kürze zuerst, dann ziehe so weit wie möglich die Wurzel.<br>
11d) <math>\sqrt{\tfrac{24a}{8a^3}}=\sqrt{\tfrac{3}{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}}=\tfrac{\sqrt{3}}{a}</math> Hier ist nur a² die Quadratzahl, du musst also teilweise die Wurzel ziehen.|2=Beispiele zu Nr. 11|3=Verbergen}}
<br>
<br>


==5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)==
===5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)===
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?<br>
<div class="grid">
<div class="grid">
  <div class="width-1-2"><math>\sqrt{64} + \sqrt{36}=... + ... = ...</math>
  <div class="width-1-2"><math>\sqrt{64} + \sqrt{36}=... + ... = ...</math>
</div>
</div>
  <div class="width-1-2"><math>\sqrt{64 + 16}=\sqrt{...}= ...</math>  
  <div class="width-1-2"><math>\sqrt{64 + 36}=\sqrt{...}= ...</math>  
</div>
</div>
</div><br>
</div><br>
Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden '''NICHT!!!''' unter einer Wurzel zusammenfassen!
Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden '''NICHT!!!''' unter einer Wurzel zusammenfassen!
===Zusammenfassung===
[[Datei:Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung.jpg|rahmenlos|600x600px]]
{{Box|Vermischte Übungen|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch (Rückspiegel). Notiere jeweils eine Überschrift und wichtige Hinweise und Ideen, bevor du die Aufgabe rechnest.
* S. 89, Nr. 1
* S. 89, Nr. 2
* S. 89, Nr. 4
* S. 89, Nr. 7
* S. 84, Nr. 17|Üben}}
__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__

Aktuelle Version vom 16. Januar 2024, 10:56 Uhr

Schullogo HLR.jpg

5.1 Multiplikation und Division

Multiplikation und Division von Quadratwurzeln - Herleitung
Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?

...... =



Multiplikation und Division von Wurzeln

Für das Produkt von Quadratwurzeln gilt: für

Für die Division von Quadratwurzeln gilt:

für


Schau die Beispielrechnungen im nachfolgenden Video an und bearbeite dann die Übungen.



Übung 1 (*)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse. Notiere deine Rechnung wie folgt:
2a)
2b)
...

  • S. 81 Nr. 2
  • S. 81 Nr. 3
  • S. 81 Nr. 4
  • S. 81 Nr. 5

Ziehe die Wurzel jeweils aus den einzelnen Faktoren, wenn die Faktoren Quadratzahlen sind.
Wenn die einzelnen Faktoren keine Quadratzahlen sind, schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen und berechne zunächst das Produkt. Dieses Produkt ist dann in der Regel eine Quadratzahl.
Beispiel:
2d) Hier sind beide Faktoren jeweils Quadratzahlen, ziehe also die Wurzel und multipliziere dann die Ergebnisse.
2c)
Hier sind die Zahlen unter der Wurzel (Radikanden) KEINE Quadratzahlen, schreibe also zunächst das Produkt unter eine Wurzel:
Das Produkt 2,25 ist eine Quadratzahl, hier kannst du wieder im Kopf die Wurzel berechnen.
= 1,5


4a)
= 34   |Hier siehst du, dass 289 eine Quadratzahl ist, also
  17 = 34
Welche Zahl musst du mit 17 multiplizieren, damit das Produkt 34 beträgt? 2!
Überlege, welche Zahl unter der Wurzel stehen muss, damit die Wurzel 2 beträgt? 2² = 4! Also:
= 34
4b)
= 21   |Hier siehst du, dass 3 KEINE Quadratzahl ist, also schreibe das Produkt unter ein Wurzelzeichen:
=   |21² = 441
Welche Zahl musst du mit 3 multiplizieren, damit das Produkt 441 beträgt? 147! Also:

= 21


5.2 Teilweises Wurzelziehen


Teilweises Wurzelziehen

Durch Zerlegen des Radikanden in ein Produkt, bei dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, kannst du teilweise die Wurzel ziehen:

für


Übung 2(**)


Übung 3(**)

Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.

  • S. 81 Nr. 7
  • S. 81 Nr. 9

Beispielrechnung:

Idee: Zerlege den Radikanden in ein Produkt, wobei ein Faktor eine QUADRATZAHL ist. Ziehe dann getrennt die Wurzel aus den beiden Faktoren
Übung 4(***)

Wähle aus: Sammle mindestens 10 Sternchen. Schreibe die Aufgaben aus dem Buch in dein Heft und löse.

  • S. 81, Nr. 10 a-d (*)
  • S. 81, Nr. 10 e-h (**)
  • S. 81, Nr. 11 a-d (*)
  • S. 81, Nr. 11 e-f (**)
  • S. 81, Nr. 12 a-b (**)
  • S. 81, Nr. 12 c-d (***)

Beispiel:
10a) 9 ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.

b) a² ist eine QUADRATZAHL, hier kannst du die Wurzel ziehen.

und nun wird es schwieriger

f)
Zerlege die Faktoren in Quadratzahlen und ziehe dann die Wurzel aus den einzelnen Faktoren.


Auch hier ist die Idee, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte aus Quadratzahlen zu zerlegen und dann einzeln die Wurzel zu ziehen.

Die Idee ist wiederum, die Zahlen unter der Wurzel in Produkte von Quadratzahlen zu zerlegen:

Beispiel:
11a) Kürze zuerst, dann ziehe so weit wie möglich die Wurzel.

11d) Hier ist nur a² die Quadratzahl, du musst also teilweise die Wurzel ziehen.



5.3 Addition und Subtraktion (Vorsicht!)

Berechne die Terme und vergleiche. Was fällt dir auf?


Bei der Addition und Subtraktion lassen sich die Radikanden NICHT!!! unter einer Wurzel zusammenfassen!

Zusammenfassung

Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung.jpg

Vermischte Übungen

Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch (Rückspiegel). Notiere jeweils eine Überschrift und wichtige Hinweise und Ideen, bevor du die Aufgabe rechnest.

  • S. 89, Nr. 1
  • S. 89, Nr. 2
  • S. 89, Nr. 4
  • S. 89, Nr. 7
  • S. 84, Nr. 17