Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Übung 6|Löse die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Zeichne zu jeder Aufgabe eine passende Skizze (rechtwinkliges Dreieck) und notiere deine Rechnungen vollständig und übersichtlich. | {{Box|Übung 6 (online und im Heft)|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft. | ||
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Version vom 4. März 2021, 10:43 Uhr
Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
2.1 Größen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen
Du kennst schon eine Möglichkeiten, eine fehlende Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind:
Wenn nun in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und ein Winkel gegeben sind, kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens die Längen der anderen Seiten berechnen.
Wo kannst du das anwenden? Warum sollst du das lernen?
Es hilft z.B. bei Vermessungen:
Wir haben in Klasse 7 die Höhe des Stadtlohner Kirchturms mithilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung bestimmt, erinnerst du dich? Nun haben wir die Möglichkeit, die Höhe auf eine andere Art zu berechnen.
Wir messen den Blickwinkel, unter dem wir die Spitze des Kirchturms sehen und die Entfernung zur Kirche. Welche Größen des rechtwinkligen Dreiecks sind also gegeben, welche Größe ist gesucht?
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel = 56° gegeben, der Winkel ist der rechte Winkel. Außerdem ist die Länge der Seite c = 50 m gegeben. Das ist die Ankathete zu .
Gesucht ist die Länge der Seite h. Dies ist die Gegenkathete zu .
Bestimme nun die Höhe des Kirchturms!
tan = = . Stelle nun diese Gleichung nach h um.
tan (56°) = |∙ 50
tan (56°) ∙ 50 = h
74,1 (m) h
Beispiele:
Beispiel 1: eine Seite (Hypotenuse) und ein Winkel sind gegeben
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); c = 6,8 cm; = 56°
ges: a; b;
sin α = |∙c
a = sin α ∙ c
a = sin (56°)∙6,8
cos α = |∙c
b = cos α ∙ c
b = cos (56°)∙6,8
Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 56° - 90°
Anmerkungen:
Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
a² + b² = c² (denn a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck)
b =
=
3,9 (cm) Der Wert ist ungenauer, da du mit dem gerundeten Wert von a weitergerechnet hast.
Du kannst β auch kürzer bestimmen mit
Beispiel 2: eine Seite (Kathete) und ein Winkel sind gegeben
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 8,4 cm; = 62,8°
ges: b; c;
sin α = |∙c
c ∙ sin α = a |: sin α
c =
c =
tan α = |∙b
b ∙ tan α = a |: tan α
b =
b =
Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 68,2° - 90°
Beispiel 3: zwei Seiten sind gegeben (Kathete und Hypotenuse)
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,3 cm; c = 9,1 cm
ges: b; α; β
a² + b² = c² |
b =
b =
sin α =
sin α = | sin-1
Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 43,8° - 90°
Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:
Beispiel 4: zwei Seiten sind gegeben (beide Katheten)
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm
ges: c; α; β
a² + b² = c² |
c =
c =
tan α =
tan α = | tan-1
Winkelsummensatz für Dreiecke:
α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 62,4° - 90°
Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:
Die Videos fassen die Möglichkeiten der Berechnungen zusammen:
a) Löse wie in Beispiel 1
b) Löse wie in Beispiel 2
c) Löse wie in Beispiel 4
Lösungen (der Größe nach sortiert)
2,9cm; 4,4cm; 5,7cm; 8,1cm; 12,2cm; 14,0cm;
a) Löse wie in Beispiel 2
b) Löse wie in Beispiel 3
c) Löse wie in Beispiel 4
Lösungen (der Größe nach sortiert):
3,8cm; 5,7cm; 6,8cm; 7,8cm; 11,9cm; 14,1cm;
Lösungen:
a) Löse wie in Beispiel 1.
b) Löse wie in Beispiel 4.
c) Löse wie in Beispiel 3.
d) Löse wie in Beispiel 1.
e) Löse wie in Beispiel 2.
f) Löse wie in Beispiel 2.
2.2 Zusammenhang Steigung m und Steigungswinkel α
Du hast zu Beginn drei Möglichkeiten wiederholt, die Steigung z.B. einer Straße anzugeben.
In Prozent (mit p% = m), als Steigung m und mit dem Steigungswinkel α.
Mithilfe des Tangens kannst du nun zum einer Steigung m den zugehörigen Steigungswinkel α angeben und umgekehrt.
Steigung m =
m = und ebenfalls ist tan α = , also gilt
m = tan α
geg: α = 7°
ges: m
m = tan α
= tan (7°)
0,123
geg: m = 25% = 0,25
ges: α
tan α = m
tan α = 0,25 |tan-1
2.3 Anwendungsaufgaben
Materialsammlung:
Übungen auf der Seite Aufgabenfuchs
Übungen auf der Seite mathe-trainer