Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen
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a = sin (56°)∙6,8<br> | a = sin (56°)∙6,8<br> | ||
a <math>\approx</math> 5,6 (cm)<br> | a <math>\approx</math> 5,6 (cm)<br> | ||
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Bestimme b:<br> | Bestimme b:<br> | ||
cos α = <math>\tfrac{b}{c}</math> |∙c<br> | cos α = <math>\tfrac{b}{c}</math> |∙c<br> | ||
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b = cos (56°)∙6,8<br> | b = cos (56°)∙6,8<br> | ||
b <math>\approx</math> 3,8 (cm)<br> | b <math>\approx</math> 3,8 (cm)<br> | ||
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Bestimme β:<br> | Bestimme β:<br> | ||
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180° <br> | Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180° <br> | ||
β = 180° - α - γ<br> | β = 180° - α - γ<br> | ||
= 180° - 56° - 90° | = 180° - 56° - 90°<br> | ||
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{{Lösung versteckt|1=Anmerkungen:<br> | {{Lösung versteckt|1=Anmerkungen:<br> | ||
Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:<br> | Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:<br> | ||
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Du kannst β auch kürzer bestimmen mit <br> | Du kannst β auch kürzer bestimmen mit <br> | ||
α + β = 90°, da γ = 90° ist. Ziehst du diese von 180° ab, so bleiben 90° übrig.|2=Weitere Möglichkeiten zur Berechnung von b und β|3=Verbergen}} | α + β = 90°, da γ = 90° ist. Ziehst du diese von 180° ab, so bleiben 90° übrig.|2=Weitere Möglichkeiten zur Berechnung von b und β|3=Verbergen}} | ||
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'''Beispiel 2:''' eine Seite und ein Winkel sind gegeben<br> | '''Beispiel 2:''' eine Seite und ein Winkel sind gegeben<br> | ||
[[Datei:Beispiel 2 Berechnungen.png|rahmenlos]]<br> | [[Datei:Beispiel 2 Berechnungen.png|rahmenlos]]<br> | ||
geg: rechtwinkliges Dreieck (<math>\gamma</math> = 90°); a = 8,4 cm; <math>\alpha</math> = 62,8°<br> | geg: rechtwinkliges Dreieck (<math>\gamma</math> = 90°); a = 8,4 cm; <math>\alpha</math> = 62,8°<br> | ||
ges: b; c; <math>\beta</math><br> | ges: b; c; <math>\beta</math><br> | ||
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Bestimme c:<br> | Bestimme c:<br> | ||
sin α = <math>\tfrac{a}{c}</math> |∙c<br> | sin α = <math>\tfrac{a}{c}</math> |∙c<br> | ||
c ∙ sin α = a <br> |: sin α <br> | c ∙ sin α = a <br> |: sin α <br> | ||
c = <math>\tfrac{a}{\text{sin α}}</math> | c = <math>\tfrac{a}{\text{sin α}}</math><br> | ||
c = <math>\tfrac{8,4}{\text{sin (62,8°)}}</math><br> | c = <math>\tfrac{8,4}{\text{sin (62,8°)}}</math><br> | ||
<math>\approx</math> 9,4 (cm) | <math>\approx</math> 9,4 (cm)<br> | ||
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Bestimme b (mit tan α oder mit dem Satz des Pythagoras):<br> | Bestimme b (mit tan α oder mit dem Satz des Pythagoras):<br> | ||
tan α = <math>\tfrac{a}{b}</math> |∙b<br> | tan α = <math>\tfrac{a}{b}</math> |∙b<br> | ||
b ∙ tan α = a |: tan α <br> | b ∙ tan α = a |: tan α <br> | ||
b = <math>\tfrac{a}{\text{tan α}}</math> | b = <math>\tfrac{a}{\text{tan α}}</math><br> | ||
c = <math>\tfrac{8,4}{\text{tan (62,8°)}}</math><br> | c = <math>\tfrac{8,4}{\text{tan (62,8°)}}</math><br> | ||
<math>\approx</math> 4,3 (cm) | <math>\approx</math> 4,3 (cm)<br> | ||
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Bestimme β:<br> | Bestimme β:<br> | ||
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180° <br> | Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180° <br> | ||
β = 180° - α - γ<br> | β = 180° - α - γ<br> | ||
= 180° - 68,2° - 90° | = 180° - 68,2° - 90°<br> | ||
= 27,2°<br> | = 27,2°<br> | ||
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geg: rechtwinkliges Dreieck (<math>\gamma</math> = 90°); a = 6,3 cm; c = 9,1 cm <br> | geg: rechtwinkliges Dreieck (<math>\gamma</math> = 90°); a = 6,3 cm; c = 9,1 cm <br> | ||
ges: b; α; β <br> | ges: b; α; β <br> | ||
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Bestimme c (Pythagoras):<br> | Bestimme c (Pythagoras):<br> | ||
a² + b² = c² |<math>\surd</math><br> | a² + b² = c² |<math>\surd</math><br> | ||
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b <math>\approx</math> 6,6 (cm)<br> | b <math>\approx</math> 6,6 (cm)<br> | ||
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Bestimme α :<br> | Bestimme den Winkel α :<br> | ||
sin α = <math>\tfrac{a}{c}</math> <br> | sin α = <math>\tfrac{a}{c}</math> <br> | ||
sin α = <math>\tfrac{6,3}{9,1}</math><br> | sin α = <math>\tfrac{6,3}{9,1}</math><br> | ||
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Also berechnest du | Also berechnest du <br> | ||
sin α = <math>\tfrac{6,3}{9,1}</math> | sin<sup>-1</sup> | sin α = <math>\tfrac{6,3}{9,1}</math> | sin<sup>-1</sup> | ||
<math>\alpha \approx</math> 43,8° <br> | <math>\alpha \approx</math> 43,8° <br> | ||
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geg: rechtwinkliges Dreieck (<math>\gamma</math> = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm <br> | geg: rechtwinkliges Dreieck (<math>\gamma</math> = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm <br> | ||
ges: c; α; β <br> | ges: c; α; β <br> | ||
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Bestimme c (Pythagoras):<br> | Bestimme c (Pythagoras):<br> | ||
a² + b² = c² |<math>\surd</math><br> | a² + b² = c² |<math>\surd</math><br> | ||
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c = <math>\sqrt{\text{6,8²-3,4²}}</math> <br> | c = <math>\sqrt{\text{6,8²-3,4²}}</math> <br> | ||
c <math>\approx</math> 7,3 (cm)<br> | c <math>\approx</math> 7,3 (cm)<br> | ||
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Bestimme α :<br> | Bestimme den Winkel α :<br> | ||
tan α = <math>\tfrac{a}{b}</math> <br> | tan α = <math>\tfrac{a}{b}</math> <br> | ||
tan α = <math>\tfrac{6,8}{3,4}</math> | Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den '''Winkel berechnest''' du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin<sup>-1</sup>, cos<sup>-1</sup> bzw. tan<sup>-1</sup> dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen: <br> | tan α = <math>\tfrac{6,8}{3,4}</math> | Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den '''Winkel berechnest''' du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin<sup>-1</sup>, cos<sup>-1</sup> bzw. tan<sup>-1</sup> dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen: <br> | ||
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Also berechnest du | Also berechnest du <br> | ||
tan α = <math>\tfrac{6,8}{3,4}</math> | tan<sup>-1</sup> | tan α = <math>\tfrac{6,8}{3,4}</math> | tan<sup>-1</sup><br> | ||
<math>\alpha \approx</math> 62,4° <br> | <math>\alpha \approx</math> 62,4° <br> | ||
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= 180° - 62,4° - 90° | = 180° - 62,4° - 90° | ||
= 27,6°<br> | = 27,6°<br> | ||
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Das Video fasst die Berechnungen zusammen: | |||
{{#ev:youtube|anK4ljMqXV0|800|center}} | {{#ev:youtube|anK4ljMqXV0|800|center}} | ||
{{Box|Übung 1|Löse die Aufgaben ausführlich im Heft, nutze die Schreibweisen der Beispiele. Übertrage die Planskizzen aus dem Buch in dein Heft. | |||
* S. 94 Nr. 1 | |||
* S. 94 Nr. 2 | |||
* S. 94 Nr. 3|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) Löse wie in Beispiel 1<br> | |||
b) Löse wie in Beispiel 2<br> | |||
c) Löse wie in Beispiel 4<br> | |||
d) Löse wie in Beispiel 3|2=Tipps zu Nr. 1|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|a) Löse wie in Beispiel 2<br> | |||
b) Löse wie in Beispiel 3<br> | |||
c) Löse wie in Beispiel 4<br> | |||
d) Löse wie in Beispiel 1|2=Tipps zu Nr. 2|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Löse wie in Beispiel 1|2=Tipp zu Nr. 3|3=Verbergen}} | |||
Version vom 12. Januar 2021, 17:27 Uhr
Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken
Du kennst schon eine Möglichkeiten, eine fehlende Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind:
Wenn nun in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und ein Winkel gegeben sind, kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens die Längen der anderen Seiten berechnen.
Wo kannst du das anwenden? Warum sollst du das lernen?
Es hilft z.B. bei Vermessungen:
Wir haben in Klasse 7 die Höhe des Stadtlohner Kirchturms mithilfe einer Zeichnung bestimmt, erinnerst du dich? Nun haben wir die Möglichkeit, die Höhe auf eine andere Art zu berechnen.
Wir messen den Blickwinkel, unter dem wir die Spitze des Kirchturms sehen und die Entfernung zur Kirche. Welche Größen des rechtwinkligen Dreiecks sind also gegeben, welche Größe ist gesucht?
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel = 55° gegeben, der Winkel ist der rechte Winkel. Außerdem ist die Länge der Seite c = 50 m gegeben. Das ist die Ankathete zu .
Gesucht ist die Länge der Seite b. Dies ist die Gegenkathete zu
.
Bestimme nun die Höhe des Kirchturms!
tan = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{\text{Gegenkathete}}{\text{{Ankathete}}}
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{b}{c}}
= Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{h}{50}}
. Stelle nun diese Gleichung nach h um.
tan (56°) = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{h}{50}}
|∙ 50
tan (56°) ∙ 50 = h
74,1 (m) h
Beispiele:
Beispiel 1: eine Seite und ein Winkel sind gegeben
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); c = 6,8 cm; = 56°
ges: a; b;
Bestimme a:
sin α = |∙c
a = sin α ∙ c
a = sin (56°)∙6,8
a 5,6 (cm)
Bestimme b:
cos α = |∙c
b = cos α ∙ c
b = cos (56°)∙6,8
b 3,8 (cm)
Bestimme β:
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 56° - 90°
= 34°
Anmerkungen:
Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
a² + b² = c² (denn a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck)
b =
=
3,9 (cm) Der Wert ist ungenauer, da du mit dem gerundeten Wert von a weitergerechnet hast.
Du kannst β auch kürzer bestimmen mit
Beispiel 2: eine Seite und ein Winkel sind gegeben
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 8,4 cm; = 62,8°
ges: b; c;
Bestimme c:
sin α = |∙c
c ∙ sin α = a
|: sin α
c =
c =
9,4 (cm)
Bestimme b (mit tan α oder mit dem Satz des Pythagoras):
tan α = |∙b
b ∙ tan α = a |: tan α
b =
c =
4,3 (cm)
Bestimme β:
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 68,2° - 90°
= 27,2°
Beispiel 3: zwei Seiten sind gegeben (Kathete und Hypotenuse)
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,3 cm; c = 9,1 cm
ges: b; α; β
Bestimme c (Pythagoras):
a² + b² = c² |
b =
b =
b 6,6 (cm)
Bestimme den Winkel α :
sin α =
sin α =
Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:
Also berechnest du
sin α = | sin-1
43,8°
Bestimme β:
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 43,8° - 90°
= 46,2°
Beispiel 4: zwei Seiten sind gegeben (beide Katheten)
geg: rechtwinkliges Dreieck ( = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm
ges: c; α; β
Bestimme c (Pythagoras):
a² + b² = c² |
c =
c =
c 7,3 (cm)
Bestimme den Winkel α :
tan α =
tan α = | Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin-1, cos-1 bzw. tan-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:
Also berechnest du
tan α = | tan-1
62,4°
Bestimme β:
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
= 180° - 62,4° - 90°
= 27,6°
Das Video fasst die Berechnungen zusammen:
a) Löse wie in Beispiel 1
b) Löse wie in Beispiel 2
c) Löse wie in Beispiel 4
a) Löse wie in Beispiel 2
b) Löse wie in Beispiel 3
c) Löse wie in Beispiel 4
Materialsammlung: Übungen auf der Seite Aufgabenfuchs