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Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken

Du kennst schon eine Möglichkeiten, eine fehlende Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, wenn zwei Seiten gegeben sind:

Erinnerung: Mit dem Satz des Pythagoras!

Wenn nun in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite und ein Winkel gegeben sind, kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens die Längen der anderen Seiten berechnen.
Wo kannst du das anwenden? Warum sollst du das lernen?
Es hilft z.B. bei Vermessungen:

St. Otger von Westen mit eingerüstetem Turm

Wir haben in Klasse 7 die Höhe des Stadtlohner Kirchturms mithilfe einer Zeichnung bestimmt, erinnerst du dich? Nun haben wir die Möglichkeit, die Höhe auf eine andere Art zu berechnen.

Wir messen den Blickwinkel, unter dem wir die Spitze des Kirchturms sehen und die Entfernung zur Kirche. Welche Größen des rechtwinkligen Dreiecks sind also gegeben, welche Größe ist gesucht?

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel $\beta$ = 55° gegeben, der Winkel $\alpha$ist der rechte Winkel. Außerdem ist die Länge der Seite c = 50 m gegeben. Das ist die Ankathete zu $\beta$.
Gesucht ist die Länge der Seite b. Dies ist die Gegenkathete zu $\beta$
.

Also hilft uns hier der Tangens weiter, denn tan $\beta$ = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{b}{c}} .

Bestimme nun die Höhe des Kirchturms!

tan $\beta$ = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{\text{Gegenkathete}}{\text{{Ankathete}}} Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{b}{c}} = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{h}{50}} . Stelle nun diese Gleichung nach h um.

tan (56°) = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrat{h}{50}} |∙ 50
tan (56°) ∙ 50 = h
74,1 (m)$\approx$ h

Der Kirchturm ist also ca. 74 m hoch.

Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken

Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlängen oder eine Seite und ein Winkel gegeben, kannst du fehlenden Größen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

Wähle das passende Seitenverhältnis aus (Sinus, Kosinus oder Tangens) und stelle - falls nötig - die Formel um.

Beispiele:
Beispiel 1: eine Seite und ein Winkel sind gegeben

geg: rechtwinkliges Dreieck ($\gamma$ = 90°); c = 6,8 cm; $\alpha$ = 56°
ges: a; b; $\beta$
Bestimme a:
sin α = $\tfrac{a}{c}$   |∙c
a = sin α ∙ c
a = sin (56°)∙6,8
a $\approx$ 5,6 (cm)

Bestimme b:
cos α = $\tfrac{b}{c}$   |∙c
b = cos α ∙ c
b = cos (56°)∙6,8
b $\approx$ 3,8 (cm)

Bestimme β:
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 56° - 90°    = 34°

Anmerkungen:
Du kannst b auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
a² + b² = c² (denn a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck)
b = $\sqrt{\text{c²-a²}}$
   = $\sqrt{\text{6,8²-5,6²}}$
  $\approx$ 3,9 (cm) Der Wert ist ungenauer, da du mit dem gerundeten Wert von a weitergerechnet hast.

Du kannst β auch kürzer bestimmen mit

α + β = 90°, da γ = 90° ist. Ziehst du diese von 180° ab, so bleiben 90° übrig.

Beispiel 2: eine Seite und ein Winkel sind gegeben

geg: rechtwinkliges Dreieck ($\gamma$ = 90°); a = 8,4 cm; $\alpha$ = 62,8°
ges: b; c; $\beta$
Bestimme c:
sin α = $\tfrac{a}{c}$   |∙c
c ∙ sin α = a
  |: sin α
c = $\tfrac{a}{\text{sin α}}$ c = $\tfrac{8,4}{\text{sin (62,8°)}}$
   $\approx$ 9,4 (cm)

Bestimme b (mit tan α oder mit dem Satz des Pythagoras):
tan α = $\tfrac{a}{b}$   |∙b
b ∙ tan α = a   |: tan α
b = $\tfrac{a}{\text{tan α}}$ c = $\tfrac{8,4}{\text{tan (62,8°)}}$
   $\approx$ 4,3 (cm)

Bestimme β:
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 68,2° - 90°    = 27,2°

Beispiel 4: zwei Seiten sind gegeben

geg: rechtwinkliges Dreieck ($\gamma$ = 90°); a = 6,5 cm; b = 3,4 cm
ges: c; α; β
Bestimme c (Pythagoras):
a² + b² = c²  |$\surd$
c = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \sqrt{\text{{a²-b²}}}
c = Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \sqrt{\text{{6,8²-3,4²}}}
c $\approx$ 7,3 (cm)

Bestimme α :
tan α = $\tfrac{a}{b}$  
tan α = $\tfrac{6,8}{3,4}$  | Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den Winkel berechnest du mit der jeweiligen Umkehrfunktion sin^-1, cos^-1 bzw. tan^-1 dem Taschenrechner wie die Bilder zeigen:

Bestimme β:
Winkelsummensatz für Dreiecke: α + β + γ = 180°
β = 180° - α - γ
   = 180° - 56° - 90°    = 34°

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