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3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.

Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Zerlege das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete Höhe h ein.
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.

Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)

Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben

① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
= 180° - 42° - 62°
= 76°

1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe h_a ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
② Berechne h_a:
sin β = $\tfrac{h_a}{c}$ | ·c
c · sin β = h_a
8,5 · sin(42°) = h_a
5,7 (cm) $\approx$ h_a

③ Berechne b:
sin γ = $\tfrac{h_a}{b}$ | ·b
b · sin γ = h_a | : sin γ
b = $\tfrac{h_a}{sin\gamma}$
b = $\tfrac{\text{5,7}}{\text{sin(76°)}}$
b $\approx$ 5,9 (cm)

④ Berechne a:

Berechne a₁:

cos β = $\tfrac{a_1}{c}$ | ·c
c · cos β = a₁
8,5 · cos (42°) = a₁

6,3 (cm)

\approx

a₁

Berechne a₂:

cos γ = $\tfrac{a_2}{b}$ | ·c
b · cos γ = a₂
5,9 · cos (76°) = a₂

1,4 (cm)

\approx

a₂

a = a₁ + a₂

= 6,3 + 1,4

= 7,7 (cm)

Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben

① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
= 180° - 42° - 62°
= 76°

2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe h_b ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
② Berechne h_b:
sin α = $\tfrac{h_b}{c}$ | ·c
c · sin α = h_b
8,5 · sin(62°) = h_b
7,5 (cm) $\approx$ h_b

③ Berechne a:
sin γ = $\tfrac{h_b}{a}$ | ·a
a · sin γ = h_b | : sin γ
a = $\tfrac{h_b}{sin\gamma}$
a = $\tfrac{\text{7,5}}{\text{sin(76°)}}$
a $\approx$ 7,7 (cm)