Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
KKeine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
KKeine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Zeile 118: Zeile 118:
4,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br>
4,4 (cm) <math>\approx</math> h<sub>a</sub> <br>


② Bestimme a<sub>2</sub> und a<sub>1</sub><br>
② Bestimme a<sub>2</sub><br>
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>     
cos γ = <math>\tfrac{a_2}{b}</math> &nbsp;&nbsp;&#124;·b<br>     
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br>
b · cos γ = a<sub>2</sub> <br>
Zeile 124: Zeile 124:
3,8 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br>
3,8 (cm) <math>\approx</math> a<sub>2</sub> <br>


Bestimme a<sub>1</sub><br>
Bestimme a<sub>1</sub><br>
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br>
a – a<sub>2</sub>= a<sub>1</sub> <br>
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br>
8,2 - 3,8 = a<sub>1</sub> <br>

Version vom 8. März 2021, 14:09 Uhr

SEITE IM AUFBAU



3 Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Die Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tanges gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.

Idee Flipchart.png

Um in allgemeinen Dreiecken Strecken und Winkel berechnen zu können, zerlege das Dreieck mithilfe einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke.


Strecken- und Winkelberechnungen in allgemeinen Dreiecken

Zerlege das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Zeichne dazu eine geeignete Höhe h ein.
Berechne dann mithilfe von Sinus, Kosinus und Tagens die fehlenden Strecken in den rechtwinkligen Teildreiecken.

Übertrage die Beispiele in dein Heft (Skizze und Rechnungen)

Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben

Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 1.3 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png

① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
   = 180° - 42° - 62°
   = 76°

1. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe ha ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
② Berechne ha:
sin β =   | ·c
c · sin β = ha
8,5 · sin(42°) = ha
5,7 (cm) ha


③ Berechne b:
sin γ =   | ·b
b · sin γ = ha   | : sin γ
b =
b =
b 5,9 (cm)

④ Berechne a:

Berechne a1:

cos β =   | ·c
c · cos β = a1
8,5 · cos (42°) = a1

6,3 (cm) a1
Berechne a2:

cos γ =   | ·c
b · cos γ = a2
5,9 · cos (76°) = a2

1,4 (cm) a2
a = a1 + a2

   = 6,3 + 1,4

   = 7,7 (cm)


Beispiel 1: Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben

Dreieck 1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 1.4 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png

① Bestimme γ:
Winkelsummensatz
γ = 180° - α - β
   = 180° - 42° - 62°
   = 76°

2. Möglichkeit: Zerlege das Dreieck durch die Höhe hb ein zwei rechtwinklige Dreiecke.
② Berechne hb:
sin α =   | ·c
c · sin α = hb
8,5 · sin(62°) = hb
7,5 (cm) hb

③ Berechne a:
sin γ =   | ·a
a · sin γ = hb   | : sin γ
a =
a =
a 7,7 (cm)

④ Berechne b:

Berechne b1:

cos α =   | ·c
c · cos α = b1
8,5 · cos (62°) = b1

4,0 (cm) a1
Berechne b2:

cos γ =   | ·c
a · cos γ = b2
7,7 · cos (76°) = b2

1,9 (cm) b2
b = b1 + b2

   = 4,0 + 1,9

   = 5,9 (cm)


Beispiel 2: Zwei Seiten und ein Winkel sind gegeben

Dreieck 2 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png
Dreieck 2.1 Einstieg Berechnungen in allgemeinen Dreiecken.png

① Bestimme ha:
sin γ =    |·b
b · sin γ = ha
5,8 · sin(49°) = ha
4,4 (cm) ha

② Bestimme a2
cos γ =    |·b
      b · cos γ = a2
5,8 · cos(49°) = a2
3,8 (cm) a2

③ Bestimme a1
a – a2= a1
8,2 - 3,8 = a1
4,4 (cm) = a1
     

④  Bestimme β 
          tan β =    |
tan β =    |tan-1
β 45°

⑤ Bestimme c

sin β =    |·c

c · sin β = ha   |: sin β
c =
c =

c 6,2 (cm)
c² =   |

c=

c =

c 6,2 (cm)

⑥ Bestimme den letzten Winkel α 
Winkelsumme
α + β + γ  = 180°     |- β; -γ
α = 180° - β - γ
α = 180° - 45° - 49°
α = 86°


Übung 1 (online und im Heft)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben. Notiere zu jeder Aufgabe eine Lösung ausführlich mit Skizze und Rechnung in deinem Heft.

  • 61
  • 62
  • 63