Version vom 30. August 2020, 11:42 Uhr von J. Twardzik(Diskussion | Beiträge)(Übung 8 und Übung 9 Überschrift geändert; statt Ausmultiplizieren muss hier Ausklammern stehen)
In diesem Lernpfad lernst du, wie du mit Termen rechnest. Grundlagen dazu hast du schon in Klasse 7 erarbeitet, diese werden im Vorwissen wiederholt.
Nun liegt der Schwerpunkt auf Termen mit Klammern. Du lernst, wie du die Klammern von Termen auflösen kannst. Zudem lernst du die Binomischen Formeln kennen, die dir ebenfalls helfen, Klammern aufzulösen.
Damit du dem Lernpfad folgen kannst, prüfe zunächst dein Vorwissen mithilfe der Aufgaben in der nachfolgenden Tabelle.
Zusätzliche Aufgaben findest du in deinem Account bei ANTON.
Wie lautet der Name dieses Gesetzes? Notiere dies als Überschrift über die obige Zeichnung in dein Heft.
Das Gesetz heißt Verteilungsgesezt (Distributivgesetz). Wir haben dies umgangssprachlich auch "Jedem die Hand geben" genannt und die Hände als Tipp gezeichnet.
Dieses Gesetz wird im folgenden GeoGebra-Applet noch einmal veranschaulicht. Du kannst die Zahlen durch Variablen ersetzen, indem du die Häkchen "Variable anzeigen" auswählst.
Das Verteilungsgesetz lässt sich auf das Rechnen mit Variablen und Termen übertragen:
Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)
Zeichne die Figur in dein Heft und fülle die Lücken im Merksatz. Schreibe ihn in dein Heft ab.
Auch hier ist das große Rechteck aus den kleinen Flächen zusammengesetzt. Der Flächeninhalt kann auf zwei Arten angegeben werden:
als Produkt der Seitenlängen a ⋅ ⟨b+c⟩ und als Summe der einzelnen Flächen a⋅b + a⋅c
Es gilt also: a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c.
Übung 1: Verteilungsgesetz: Rechnen mit Rechtecken
Löse zur Übung die nachfolgenden LearningApps. Melde dich dazu zuvor mit deine Account bei Learningapps an.
Übung 2
Bearbeite im Buch S. 11 Nr. 1 in deinem Heft.
Um die Gesamtfläche als Summe auszudrücken, addiere die Flächeninhalte der einzelnen kleinen Rechtecke. Um die Gesamtfläche als Produkt auszudrücken, bestimme die gesamten Seitenlängen und berechne den Flächeninhalt mit "Länge ⋅ Breite".
Summe: Die Figur lässt sich in drei Teilrechtecke zerlegen, mit jeweils der Breite x und den verschiedenen Längen r, s und t. Die Gesamtfläche setzt sich zusammen aus der Summe von x⋅r + x⋅s + x⋅t.
Produkt: Die Figur ist ein Rechteck mit der Breite x und der Länge (r + s + t), die Gesamtflächen berechnen wir mit "Länge⋅Breite", also (r + s + t)⋅x [oder x⋅(r + s + t)].
Übung 3
Löse Buch S. 12 Nr. 13a,b und d. Eine Skizze kann dir helfen. Info: Der Buchstabe M steht für "Mantelfläche". So wird die Summe der Seitenflächen eines Quaders bezeichnet.
Skizze zu a)
Summe: M = x⋅(x+2) + x⋅(x+1) + x⋅(x+2) + x⋅(x+1)
Produkt: M = x⋅(4x+6)
Skizze zu b)
Skizze zu d)
Übung 4
Erstelle selbst eine LearningApp, in der die Gesamtfläche als Summe und als Produkt ausgedrückt werden kann.
1.1 Ausmultiplizieren
Durch Ausmultiplizieren wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt, die Klammern werden also aufgelöst.
Hefteintrag: Ausmultiplizieren
Beim Ausmultiplizieren wird jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor vor/nach der Klammer multipliziert.
Tipp: "Jedem die Hand geben"
Beispiele:
a)
Produkt Summe
2⋅(x + 5) = 2⋅x + 2⋅5
= 2x + 10
b)
Produkt Summe
(a + 3b)⋅2c = a⋅2c + 3b⋅2c
= 2ac + 6bc
Übung 5 Überflüssige Malpunkte
Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.
Übung 6 Ausmultiplizieren
Löse die Klammern auf und vereinfache den Term so weit wie möglich.
Übung 7 Ausmultiplizieren
Löse Buch S. 11 Nr. 2, Nr. 5 und S. 12 Nr. 10, 11.
Zu Nr. 2, 10 und 11: Schreibe die Aufgabe in dein Heft ab, multipliziere aus und vereinfache den Term so weit wie möglich.
Die Malpunkte zwischen der Zahl bzw. der Variablen und der Klammer wurden teilweise weggelassen, du musst sie im Kopf ergänzen. Hier also: 5(x+ 2) ist dasselbe wie 5⋅(x+2)
Ausmultiplizieren: Jedem die Hand geben! Notiere als Hilfe Bögen über die Zahlen bzw. Variablen, die du multiplizierst.
Vorsicht mit den Vorzeichen und Rechenzeichen: Das Zeichen in der Klammer wird übernommen und mit der Zahl vor der Klammer multipliziert
Vorsicht mit den Vorzeichen und Rechenzeichen: Hat der Term außerhalb der Klammer ein Minuszeichen, wird dies mit multipliziert
Welcher Term muss jeweils ergänzt werden, damit beim Ausmultiplizieren die vorgegebene Lösung entsteht? In Aufgabe a) ist es die "4", denn 9x(4+3y) = 36x + 27xy
Das Distributivgesetz gilt auch für die Division (Nr. 10) und für mehrere Summanden (Nr. 11)
1.2 Ausklammern
Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also Klammern hinzugefügt.
Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden gemeinsame Faktoren haben.
Ausklammern
Gemeinsame Faktoren in einer Summe können ausgeklammert werden.
Beispiel:
8x + 12xy
= 4x⋅2 + 4x⋅3y
= 4x⋅(2 + 3y)
Übung 8 Ausklammern
Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus.
Übung 9 Ausklammern
Löse Buch S. 11 Nr. 6 im Heft. Schreibe die Aufgabe ab, und klammere dann gemeinsame Faktoren aus.
Hier sind die Faktoren, die ausgeklammert werden müssen, angegeben.
a) 8⋅(...) b) 7x⋅(...) c) 11y⋅(...) d) 9b(-...+...) e) 20s(...) f) 15vw(...)
2. Summen multiplizieren
Entdecken
Zeichne die Figur in dein Heft. Berechne den Flächeninhalt der Figur. Wie gehst du vor? Es gibt (mindestens) zwei verschiedene Möglichkeiten.
Möglickeit 1 Berechne den Flächeninhalt der einzelnen Flächen. Dies sind jeweils Rechtecke, also rechnest du A = Länge∙Breite.
Möglichkeit 2 Berechne den Flächeninhalt der gesamten Figur. Dies ist ein Rechteck, rechne also A = Länge∙Breite. Die Länge beträgt (8+1)=9 und die Breite (1,5+4)=5,5.
Die Fläche des Rechtecks lässt sich auf zwei Arten berechnen:
1. als Summe der Einzelflächen und
2. als Produkt.
Übung 10
Bearbeite auf der Seite realmath das Quiz Quiz realmath.
Übung 11
Löse Buch S. 14 Nr. 1. Lies das Beispiel und bearbeite die Aufgaben ebenso.
Summen multiplizieren
Zeichne die Figuren in dein Heft. Gib den Flächeninhalt der nachfolgenden Figur ebenfalls als Summe und als Produkt an. Kannst du einen Merksatz formulieren?
Als Produkt:
Als Summe:
Notiere deine Ideen unter die passende Zeichnung in deinem Heft.
Vergleiche deine Ideen mit denen des nachfolgenden Videos. Ergänze bzw. berichtige deine Ideen.
Summen werden multipliziert, indem jeder Summand der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert wird. Anschließend werden die Produkte addiert. (a+b)∙(c+d) = a∙c + a∙d + b∙c + b∙d
Merke: "Jeder gibt jedem die Hand.
Das GeoGebra-Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang:
Das nachfolgenden Video zeigt Beispiele zur Anwendung dieses Gesetzes.
Notiere die Beispielaufgaben in dein Heft und löse sie.
(a+6)∙(b+2)
(2e+f)∙(4+f)
(x+2)∙(y-4z)
Vergleiche anschließend deine Lösungen mit denen im folgenden Video .
Bearbeite anschließend die selbständigen Übungen des Videos und vergleiche deine Lösungen mit den angegebenen Lösungen.
Der Flächeninhalt der blauen Fläche lässt sich auf verschiedene Arten berechnen. . Skizziere die Figur in dein Heft.
a) Löse das Quiz unten und schreibe die geeigneten Terme in dein Heft Begründe jeweils mithilfe der Zeichnung.
b) Löse die Klammern in den Termen auf und zeige, dass sie gleich sind.
Welche Terme sind geeignet, die blaue Fläche zu berechnen?
(a⋅b-x⋅y) (a⋅⟨b-y⟩+b⋅⟨a-x⟩) (!a⋅b+x⋅y) (⟨a-x⟩⋅⟨b-y⟩+x⋅⟨b-y⟩+y⋅⟨a-x⟩)
3. Binomische Formeln
Weiter geht es mit drei Sonderfällen bei der Multiplikation von Summen, den binomischen Formeln.
Cookies helfen uns bei der Bereitstellung von ZUM Projektwiki. Durch die Nutzung von ZUM Projektwiki erklärst du dich damit einverstanden, dass wir Cookies speichern.
