Benutzer:Buss-Haskert/Terme(mit Klammern): Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|Summen multiplizieren|Zeichne die Figuren in dein Heft. Gib den Flächeninhalt der nachfolgenden Figur ebenfalls als Summe und als Produkt an. Kannst du einen Merksatz formulieren?| | {{Box|Summen multiplizieren|Zeichne die Figuren in dein Heft. Gib den Flächeninhalt der nachfolgenden Figur ebenfalls als Summe und als Produkt an. Kannst du einen Merksatz formulieren?|Arbeitsmethode}} | ||
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====3.1 1. Binomische Formel==== | ====3.1 1. Binomische Formel==== | ||
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<big>(a+b)²</big> Schreibe die Potenz aus.<br> | <big>(a+b)²</big> Schreibe die Potenz aus.<br> | ||
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<big>=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b</big> Fasse zusammen. | <big>=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b</big> Fasse zusammen. | ||
<big>=a² + 2ab + b²</big> | <big>=a² + 2ab + b²</big> | ||
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Version vom 16. August 2020, 08:19 Uhr
Seite im Aufbau
Damit du dem Lernpfad folgen kannst, prüfe zunächst dein Vorwissen mithilfe der Aufgaben in der nachfolgenden Tabelle.
Zusätzliche Aufgaben findest du in deinem Account bei ANTON.
Vorwissen
Bearbeite die Aufgaben in der Tabelle: (Buch: Schnittpunkt Mathematik - Differenzierende Ausgabe 8, Klett)
Du kannst | Übungen im Buch | Übungen online |
---|---|---|
mit Fachbegriffen umgehen | S. 8 Nr. 1 |
|
-Terme aufstellen und benennen | S. 8 Nr. 2 |
|
-Terme addieren und subtrahieren | S.8 Nr. 3 |
|
-Terme multiplizieren und dividieren | S.8 Nr. 4 (+Kahoot!) |
|
-Terme mit Klammern vereinfachen
(+ 🙂und - ↯) |
S.8 Nr. 5 |
|
- Werte von Termen berechnen | S. 8 Nr. 7 |
|
Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!
1. Ausmultiplizieren und Ausklammern (vor der Klammer )
Vergleiche deine Ideen mit denen im nachfolgenden Video:
Wie lautet der Name dieses Gesetzes? Notiere dies als Überschrift über die obige Zeichnung in dein Heft.
Dieses Gesetz wird im folgenden GeoGebra-Applet noch einmal veranschaulicht. Du kannst die Zahlen durch Variablen ersetzen, indem du die Häkchen "Variable anzeigen" auswählst.
Das Verteilungsgesetz lässt sich auf das Rechnen mit Variablen und Termen übertragen:
Auch hier ist das große Rechteck aus den kleinen Flächen zusammengesetzt. Der Flächeninhalt kann auf zwei Arten angegeben werden:
als Produkt der Seitenlängen a ⋅ ⟨b+c⟩ und als Summe der einzelnen Flächen a⋅b + a⋅c
Es gilt also: a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c.
Summe: Die Figur lässt sich in drei Teilrechtecke zerlegen, mit jeweils der Breite x und den verschiedenen Längen r, s und t. Die Gesamtfläche setzt sich zusammen aus der Summe von x⋅r + x⋅s + x⋅t.
Produkt: Die Figur ist ein Rechteck mit der Breite x und der Länge (r + s + t), die Gesamtflächen berechnen wir mit "Länge⋅Breite", also (r + s + t)⋅x [oder x⋅(r + s + t)].
1.1 Ausmultiplizieren
Durch Ausmultiplizieren wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt, die Klammern werden also aufgelöst.
Beispiele:
1.2 Ausklammern
Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also Klammern hinzugefügt. Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden gemeinsame Faktoren haben.
Hier sind die Faktoren, die ausgeklammert werden müssen, angegeben.
a) 8⋅(...) b) 7x⋅(...) c) 11y⋅(...) d) 9b(-...+...) e) 20s(...) f) 15vw(...)
2. Summen multiplizieren
Berechne den Flächeninhalt der einzelnen Flächen. Dies sind jeweils Rechtecke, also rechnest du A = Länge∙Breite.
Berechne den Flächeninhalt der gesamten Figur. Dies ist ein Rechteck, rechne also A = Länge∙Breite. Die Länge beträgt (8+1)=9 und die Breite (1,5+4)=5,5.
Die Fläche des Rechtecks lässt sich auf zwei Arten berechnen:
1. als Summe der Einzelflächen und
2. als Produkt.
Notiere deine Ideen unter die passende Zeichnung in deinem Heft.
Vergleiche deine Ideen mit denen des nachfolgenden Videos. Ergänze bzw. berichtige deine Ideen.
Schreibe den Merksatz in dein Heft.
Das GeoGebra-Applet verdeutlicht diesen Zusammenhang:
Das nachfolgenden Video zeigt Beispiele zur Anwendung dieses Gesetzes.
Dieses Video erklärt noch einmal ausführlich wie du rechnest, wenn ein Minuszeichen in einer Klammer steht.
Alles Klar? Setze die Zeichen passend ein.
a) (8-a)⋅(5+2b) = 40 + 16b -5a -2ab
b) (-3x+4)⋅(6+7y) = -18x - 21xy + 24 + 28y
c) (6-m)⋅(11-2n) = 66 - 12n - 11m + 2mn
d) (-8a - 2)⋅(5 + 9b) = -40a - 72ab - 10 - 18b
e) (3 + x)⋅(2 - y) = 6 - 3y + 2x - xy
f) (a + 10)⋅(4 - b) = 4a - ab + 40 - 10b
Du findest noch vielfältige Übungsmöglichkeiten auf realmath.de:
Level 1: Summen multiplizieren Level 1
Level 2: Summen multiplizieren Level 2
Welche Terme sind geeignet, die blaue Fläche zu berechnen?
(a⋅b-x⋅y) (a⋅⟨b-y⟩+b⋅⟨a-x⟩) (!a⋅b+x⋅y) (⟨a-x⟩⋅⟨b-y⟩+x⋅⟨b-y⟩+y⋅⟨a-x⟩)
3. Binomische Formeln
Die binomische Formeln sind drei Sonderfälle bei der Multiplikation von Summen. Die Ergebnisse lassen sich hier leicht zusammenfassen und so die ausführlichen Berechnungen abkürzen.
Durch entsprechende Figuren lassen sie sich auch gut anschaulich erklären.
3.1 1. Binomische Formel
Herleitung der ersten binomischen Formel
Rechnerische Herleitung
(a+b)² Schreibe die Potenz aus.
=(a+b)⋅(a+b) Multipliziere die Summen. (
=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b Fasse zusammen.
=a² + 2ab + b²