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Prozent-und Zinsrechnung Startseite

1) Wiederholung der Grundbegriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%
2) Vermehrter und verminderter Grundwert

3) Zinsrechnung

2) Vermehrter und verminderter Grundwert

MACHT DIESE AUFGABE SINN ODER LIEBER EIN MIT VERMEHRTEM GRUNDWERT?

Einstiegsaufgabe 1 - Handykauf

Luis möchte sich ein Handy für 388€ kaufen.

In einem Prospekt ist der Preis um 19% reduziert.
Wie viel kostet das Handy nun?

Finde verschiedene Möglichkeiten, den neuen Preis auszurechnen!

Hefteintrag

Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.

Das Handy kostet ursprünglich 388€. Das ist G.
Der Preis wird mit dem Rabatt um 19% gesenkt. Das ist p%.
Du sparst 73,72€. Das ist W.
Der Preis wird auf 81% des ursprünglichen Preises gesenkt. Du musst also noch 81% des ursprünglichen Preises bezahlen.
Das ist p^-% Du musst also noch 314,28€ bezahlen. Das ist G^-.

Einstiegsaufgabe 2 - Miete

Familie Rabe wohnt in einem Haus zur Miete und zahlt monatlich 950€. Ab dem 01. Januar diesen Jahres verlangt der Vermieter 5% mehr.

Wie viel muss die Familie nun bezahlen?

Finde verschiedene Möglichkeiten, die Höhe der neuen Miete auszurechnen!

Hefteintrag

Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.

Die Miete beträgt ursprünglich 950€. Das ist G.
Die Miete steigt um 5%. Das ist p%.
Die Familie muss nun 47,50€ mehr bezahlen. Das ist W.
Die Miete wird auf 105% des ursprünglichen Preises erhöht.
Das ist p⁺% Die Familie muss nun also 997,50€ bezahlen. Das ist G⁺.

Datei:Vermehrter und verminderter Grundwert Beispiel 2 Lösung.png

2.1 Vermehrten und verminderten Grundwert berechnen

Vermehrter und verminderter Grundwert

Es gibt Situationen, in den wird ein Grundwert G um einen prozentualen Anteil p% vermehrt oder vermindert.

Den vermehrten Grundwert G⁺ berechnest du,
indem du den Grundwert G mit dem vermehrten Prozentsatz p⁺% = 100% + p% multiplizierst:

G⁺ = G ∙ p⁺%.

Den verminderten Grundwert G^- berechnest du,
indem du den Grundwert G mit dem verminderten Prozentsatz p^-% = 100% - p% multiplizierst:
G^- = G ∙ p^-%.

Bespiele:
Rechnung mit Formel

Miete:

geg: G=950€; p%=5%, also p⁺%=100%+p%=105% = 1,05
ges: G⁺
G⁺ = G ∙ p⁺%
   = 950 ∙ 1,05

   = 997,50 [€]

Handykauf:

geg: G=388€; p%=19%, also p^-%=100%-p%=81% = 0,81
ges: G^-
G^- = G ∙ p^-%
   = 338 ∙ 0,81
   = 314,28 [€]

Du kannst für die Berechnung des vermehrten bzw. verminderten Grundwertes auch den Dreisatz benutzen:

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Rechnung mit Dreisatz: Ergänze die Lücken:

Miete:

Prozentsatz	Mietkosten (€)
100%	950
1%	____
105%	_____

Preis Handy:

Prozentsatz	Preis (€)
100%	388
1%	____
81%	_____

Prozentsatz p%	Mietkosten (€)
100%	950
1%	9,50
105%	997,50

Prozentsatz p%	Preis (€)
100%	388
1%	3,88
81%	314,28

Hefteintrag

Übertrage die Beispiele von oben in dein Heft.
1. Möglichkeit: Rechnung mit Formel...

2. Möglichkeit: Rechnung mit Dreisatz...

Du kennst schon das Formeldreieck für die Prozentrechnung mit der Formel W = G ∙ p%. Nun ersetzt du in diesem Formeldreieck den Prozentwert W durch den vermehrten/verminderten Grundwert G^+/-.

Formeldreieck für den vermehrten/verminderten Grundwert

Du kennst das Formeldreieck bereits aus der Prozentrechnung. Es ist auch eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für den vermehrten Grundwert. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft.

Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu, dann erhältst du die zugehörige Formel. Notiere die drei Formeln in dein Heft. Kontrolliere die Lösung.

Übung 1

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgabe

• 11

Lies auch die Informationen unter der Aufgabe.

Übung 2

Trage im nachfolgenden Quiz die veränderten Prozentsätze p⁺% bzw. p^-% ein (Prozent- und Dezimalbruchschreibweise).

Übung 3

Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so:
geg: G = 150€, p% = 20%, also p^-% = 100%-20% = 80% = 0,8
ges: G^-
G^- = G ∙ p^-%
   = 150 ∙ 0,8
   = 120 [€]

• S. 106 Nr. 2
• S. 106 Nr. 3
• S. 115 Nr. 4
• S. 115 Nr. 5

Das Video zeigt dir noch einmal anhand von zwei Beispielen, wie du rechnen kannst. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p^+/-% die Variable q verwendet.

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Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!
Lösungen zu Nr. 2 bunt gemischt:

8,16 €; 9,60 €; 10 €; 20 €; 30,40 €; 36 €; 48€; 68,80 €; 79,20 €; 88 €; 120 €;

Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!
Lösungen zu Nr. 3 bunt gemischt:

84,70; 110,08; 127,57; 192 ; 399; 2003,45; 56367,6

Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift!

Die Lösungen zu Nr. 4 und 5 findest du hinten im Buch!

Übung 4

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 14
• 15

Lies auch die Informationen unter der Aufgabe.

2.2 Prozentsatz p% aus dem Grundwert und dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen

Winterschlussverkauf

Schau dir die Angebote genau an.
a) Für Welches Board entscheidest du dich, bunt oder blau? Begründe.

b) Bei welchem Board sparst du prozentual am meisten? Notiere deine Rechnung.

geg: G=alter Preis; G^-=neuer Preis
ges: p^-% und p%
Berechne zunächst durch Umstellen der Formel (oder mit dem Dreisatz) p^-%.

Mit diesem Wert kannst du dann p% berechnen: p% = 100% - p^-%.

Video laden

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Übung 5

Buch

• S. 106 Nr. 4
• S. 116 Nr. 5
• S. 116 Nr. 7

Tipp zu Nr. 4

2.3 Grundwert G aus dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen

Tischtennis

Mats möchte einen neuen Tischtennisschläger kaufen und findet folgendes Angebot:

Nun möchte er wissen, wie viel der Schläger ursprünglich gekostet hat. Wie könnte er vorgehen?
Notiere deine Ideen im Heft.

geg: p%=15%=0,15, also ist p^-% = ...; G^-=93,50€
ges: G

Berechne mit Formel oder Dreisatz

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Du musst dem Text entnehmen können, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Bearbeite dazu die nachfolgende LearningApp.

Übung 6

Buch

• S. 115 Nr. 9
• S. 115 Nr. 10

Übung 7

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 10
• 16
• 17
• 18
• 19
• 20
• 21

Mehrwertsteuer:(Information zur Aufgabe 21)
Wenn du einkaufen gehst sind die Preise in der Regel als Bruttopreis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist.
Der Nettopreis gibt den Preis ohne Mehrwertsteuer an.
Also gilt:
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer
     G⁺      =      G     +      W
Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang:

Übung 8 - Mehrwertsteuer

Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer.

Übung 8

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösung ausführlich und übersichtlich (geg:...; ges:...).

• S. 107 Nr. 7

2.4 Vermischte Übungen - Anwendungsaufgaben

NOCH UNSORTIERT

Übung 8

Lies die Aufgabe genau. Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht ist. Löse dann die Aufgabe mit der Formel oder dem Dreisatz. Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch.

• S. 115 Nr. 6
• S. 115 Nr. 7
• S. 115 Nr. 8

Übung 9

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 25
• 26
• 27
• 28
• 29
• 30
• 31

2.5 Mehrfach veränderter Grundwert

Erarbeiten

Schreibe deine Ideen zur Frage in dein Heft. Diskutiere sie anschließend mit deinem Partner.

Es wird zweimal nacheinander um 50% reduziert. Rechne schrittweise. Was fällt dir auf?

Der Preis wird in zwei Schritten reduziert:
1. Schritt:
geg: G=360€; p%=50% also p^-% = 100% - 50% = 50% = 0,5
ges: G^-
G^- = G ∙ p^-%
   =360 ∙ 0,5
   = 180 (€)

Dies ist der neue Grundwert für die nächste Reduzierung! Nun erhältst du also auf diesen Preis (180€) noch einmal 50% Ermäßigung!
(2. Schritt:...)

Der Preis wird in zwei Schritten reduziert.
Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite Rechung:
2. Schritt:
geg: G = 180€; p% = 50%, also p^-% = 100% - 50% = 50% = 0,5
ges: G^-
G^- = G ∙ p^-%
   =180 ∙ 0,5
   = 90 (€)

Also kostet das Snowboard nach der zweiten Reduzierung 90€.

Mehrfach veränderter Grundwert

Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10 % ermäßigt. Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat.

Im Vergleich dazu wäre der Endpreis bei einer Ermäßigung um 20%: G^- = G ∙ p^-% = 50 ∙ 0,8 = 40 (€).

Eine zweimalige Reduzierung um 10% entspricht einer einmaligen Ermäßigung um 19 %, denn der Endpreis beträgt 81% des ersten Grundwertes 0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%.

Übung 10

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 17
• 19
• 20
• 26

Übung 11 - mehrfach veränderter Grundwert

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

• S. 116 Nr. 3
• S. 116 Nr. 9
• S. 108 Nr. 12
• S. 108 Nr. 14
• S. 108 Nr. 15
• S. 108 Nr. 16
• S. 108 Nr. 17

3) Zinsrechnung