Was ist größer? Die Höhe oder der Umfang des Glases?
Schau in der folgenden LearningApp das Video dazu an.
Kreisumfang entdecken
a) Miss den Durchmesser d und den Umfang u von verschiedenen kreisförmigen Gegenständen. Beschreibe, wie du vorgehst.
b) Trage die Werte in eine Tabelle ein:
c) Was fällt dir auf? Notiere Stichpunkt im Heft.
Prüfe deine Vermutung aus dem Teil c) mithilfe des nachfolgenden Applets. Wähle den Vollbildmodus zur Bearbeitung.
Applet von Pöchtrager
Stelle deine Werte aus der Tabelle in einem d-u-Diagramm dar. Was fällt dir auf?
Das Diagramm ist eine Ursprungsgerade, also ist die Zuordnung proportional. Das heißt auch, dass der Quotient immer gleich ist.
Der Umfang u eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d.
Der Quotient beträgt immer ca. 3,1.
Dieses Verhältnis wird Kreiszahl π genannt. = π.
Kreisumfang
Den Umfang u eines Kreises mit Durchmesser d (Radius r) berechnen wir mit der Formel:
Das folgende Näherungsverfahren für die Kreiszahl π geht auf Archimedes (282 v.Chr. Bis 212 v.Chr.) zurück. Es beruht auf der Betrachtung von regelmäßigen Vielecken, die dem Kreis umschrieben bzw. einbeschrieben sind.
Applet von Pöchtrager
Und nun noch einige kurze Infos zur Kreiszahl π:
eine der bekanntesten und sagenumwobensten Zahlen der Mathematik
Ansätze ihrer Berechnung wurden schon im 17 Jahrhundert v. Chr. im Rechenbuch des Ahmes angedeutet
mathematisch relativ genau als erstes von dem griechischen Mathematiker und Philosoph Archimedes im Jahr 250 v .Chr. bestimmt worden, mit 2 Dezimalstellen (3,14)
Mittlerweile (2010) von dem Mathematiker Shigero Kondo auf ca. 5 000 000 000 000 Dezimalstellen berechnet
beschreibt das Verhältnis vom Umfang des Kreise zu seinem Durchmesser, welches bei allen Kreisen gleich ist:
π = = 3,14159...
Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat somit einen Umfang von π.
Tastenkombination für die Kreiszahl π für Berechnungen mit dem Taschenrechner:
1.3 Kreisumfang - Berechnungen
Kreisumfang - Berechnungen
[1]
Theo und Lara sollen den Durchmesser des Stammes eines Baumes in einer Höhe von einem Meter über dem Boden ermitteln.
Vervollständige den Gedanken von Lara.
Sie nehmen eine lange Schnur, führen diese einmal um den Baum herum und messen dann mit einem Maßband, wie lang die Schnur ist. So haben sie den Umfang u des Stammes gemessen. Nun berechnen sie mit der Formel für den Kreisumfang den zugehörigen Durchmesser.
Kreisumfang - Berechnungen
Bei gegebenem Durchmesser d oder Radius r kannst du den Umfang u berechnen mit den Formeln
u = π · d oder u = 2· π · r
Durch Umstellen der Formeln nach d bzw. r kannst du bei gegebenem Umfang den Durchmesser bzw. den Radius bestimmen.
Schreibe die Formeln in dein Heft und stelle sie nach d bzw. r um.
Kreisumfang - Berechnungen
Übertrage die folgenden Beispiele in dein Heft
Beispiele:
Umfang u berechnen:
geg: d = 3,0 cm
ges: u
u = π · d |Wert einsetzen
= π · 3,0
= 9,4 (cm)
geg: r = 1,0 cm
ges: u
u = 2 · π · r |Wert einsetzen
= 2 · π · 1,0
= 6,3 (cm)
Durchmesser d berechnen:
geg: u = 15,7 cm
ges: d
u = π · d |: π = d |Wert einsetzen = d
5,0 (cm) = d (cm)
Radius r berechnen:
geg: u = 22,0 cm
ges: r
u = 2 · π · r |: (2·π) = r Wert einsetzen = r
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere übersichtlich mit den Schreibweisen wie in den Beispielen.
S. 129 Nr. 1 (Wähle je eine Aufgabe aus a-c und eine Aufgabe aus d-e aus.)
S. 129 Nr. 2 (Wähle eine Aufgabe aus.)
S. 129 Nr. 3 (Wähle drei Aufgaben aus.)
Prüfe deine Ergebnisse mit dem nachfolgenden Applet.
1.4 Anwendungsaufgaben
Übung 3 - geometrische Anwendungen
Figuren können aus verschiedenen Flächen - auch Kreisflächen zusammengesetzt werden. Löse die Aufgaben aus dem Buch. Übertrage dazu die Skizze in dein Heft und löse schrittweise.
Erinnerung: Die Ameise läuft für den Umfang u einmal um die Figur herum.
S. 129 Nr. 4
S. 129 Nr. 5
S. 129 Nr. 8
- Der Umfang zweier Halbkreise ist genauso groß wie der Umfang eines ganzen Kreises (bei gleichem Radius).
- Wie groß ist der Radius (oder der Durchmesser) der Halbkreise?
Laufe die drei Strecken des Rechtecks und dann die zwei Halbkreise entlang ("die Ameise läuft drum herum")
Lösung: u = 5 + 10 + 5 + π·5 = 35,71 (cm)
Berechne den Durchmesser d des Halbkreises mit dem Satz des Pythagoras.
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:
(Kathete2 + KatheteHochstellen = Hypotenuse2
Lösung: d = 13
Der Umfang des Halbreises ist halb so groß wie der eines Kreises:
uHalbreis = uKreis = π·d
Lösung: u = 12 + 5 + 20,42 = 37,42 (cm)
Hilfsapplet zu Nr. 5
Betrachte den Durchmesser der Kreise. Was geschieht jeweils von Bogen zu Bogen?
d1=2cm; d2=1cm; d3=; d4=; d5 = ; ...
Berechne jeweils die Umfänge: u1 = ·2·π = π; ...
Kreisumfang - Sachsituationen
Um die Anwendungsaufgaben zu lösen, ist es hilfreich, den Radius, den Durchmesser oder den Umfang eines Kreises in den Aufgaben zu suchen.
Übung 4 - Sachsituationen
Löse die Aufgabe aus den nachfolgenden GeoGebra-Applets. Notiere die Lösung ausführlich und übersichtlich in deinem Heft.
Applet von Schober
Der Weg der Füße entspricht dem Umfang der Erde. Diesen berechnest du mit der Formel u = 2·π·r, wobei der Erdradius r = 6370000m beträgt.
Der Radius für den Weg des Kopfes ist 1,5m größer als der Erdradius, also r2=6370000+1,5 = 6370001,5(m)
Übung 5 - Sachsituationen
Wähle aus den Aufgaben aus dem Buch aus, sammle mindestes 6 Sternchen. Notiere die Lösungen übersichtlich. Nutze bei Bedarf die Tipps. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
S. 129 Nr. 7 (**)
S. 130 Nr. 11 (*)
S. 130 Nr. 12 (*)
S. 130 Nr. 13 (*)
S. 130 Nr. 14 (*)
S. 130 Nr. 15 (**)
S. 130 Nr. 16 (**)
S. 130 Nr. 17 (*)
Verlgeiche mit Übung 4 (Laufen um die Erde).
Vergleiche mit der Einstiegsaufgabe.
Die Länge des Metallbandes entspricht dem Umfang des entstehenden Kreises.
Lösung: d≈0,95m
Wie viele "Wellen" befinden sich in der Wellblechplatte?
2,50m Länge = 250cm (gleiche Einheiten!)
250cm : 5cm = 50
Diese Wellbelchplatte besteht aus 50 Wellen.
Ursprünglich muss die Platte so lang gewesen sein, dass 50 Wellen daraus zu legen sind:
Länge ursprünglich = 50·Umfang eines Halbkreises mit d=5cm
= 25·Umfang eines ganzen Kreises mit d=5cm.
Länge = 25·π·d=...
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