Kennst du eine Balkenwaage z.B. aus dem Physikunterricht oder vom Markt? oder
Diese Waagen sind im Gleichgewicht, wenn das Gewicht auf beiden Seiten der Waage gleich groß ist.
In der Mathematik liegt auf jeder Seite der Waage ein Term (Rechenausdruck). Das Gleichgewicht stellen wir mit einem Gleichheitszeichen dar.
Was ist eine Gleichung?
In einer Gleichung werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden.
Du kennst Terme (Rechenausdrücke) aus dem vorangegangenen Kapitel. Nun verbindest du zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen. Damit erhältst du eine Gleichung.
Übung 1
Entscheide in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um eine Gleichung handelt oder nicht.
Ziel ist es, für die Variablen genau die Zahl zu finden, sodass auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Wert steht. Dann ist die Waage im Gleichgewicht.
In jeder Tüte befinden sich gleich viele Klötzchen (x Stück).
Wie viele Klötzchen befinden sich in jeder Tüte, damit die Waage im Gleichgewicht ist?
1.2 Lösen durch Probieren
Idee
Die Tüten müssen mit gleich vielen Klötzchen befüllt werden. Probiere aus.
Gib die passende Gleichung für diese Situation und die Lösung an.
Tütengleichungen
a) Lege die Gleichung 5 + x = 8 mit dem Material nach und zeichne die Situation in dein Heft. Wie viele Klötzchen müssen dann in der Tüte liegen. Probiere aus und notiere die Lösung im Heft.
b) Lege die Gleichung 2·x + 4 = 10 mit dem Material nach. Wie viele Klötzchen müssen in einer Tüte sein, wenn sich in jeder Tüte gleich viele Klötzchen befinden müssen? Probiere aus und notiere die Lösung im Heft.
c) Erkläre und begründe, wie du vorgegangen bist.
Übung 1 - Tütengleichungen
Löse die nachfolgende LearningApp. Wenn du magst, kannst du die Situationen mit dem Material nachlegen.
Übung 2
Erfinde Tütengleichungen und lass sie von deinem Sitznachbarn lösen.
Material: Holzwürfel und Brottüten
Notiert die Gleichungen und die zugehörige Lösung im Heft.
Du kannst die Gleichungen auch in der Simulation auf der Seite phet.colorado.edu nachstellen und deine Lösung prüfen.
Wähle dazu die Simulation VARIABLEN, stelle die Gleichung nach und prüfe deine Lösung, indem du für x den entsprechenden Wert einstellst (oben rechts).
Übung 3
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gib jeweils die Gleichung und die zugehörige Lösung an. Wenn nötig, stelle die Situationen mit Tüten und Klötzchen nach.
S. 115 Nr. 3
S. 115 Nr. 4
Idee
Notiere eine Gleichung zur dargestellten Situation.
Setzte nun nacheinander für x die Werte ab 1 ein, finde so die richtige Lösung.
x (Wert)
Gleichung
x + 7 = 2·x + 1
Lösung (Ja/Nein)
1
1 + 7 = 2·1 + 1
8 = 3 (f)
Nein
2
2 + 7 = 2·2 + 1
9 = 5 (f)
Nein
3
...
...
...
...
...
Du setzt die Werte für x immer anstelle der Variablen ein. Dann rechnest du die beiden Seiten der Gleichung aus und prüfst, ob sie denselben Wert haben. Wenn dies der Fall ist, hast du die Lösung der Gleichung gefunden.
Beispiel:
x + 7 = 2·x + 1 für x = 2 2 + 7 = 2·2 + 1
9 = 5 (f)
Die 2 ist also NICHT Lösung der Gleichung.
Lösung der Gleichung:
x = 6, denn
x + 7 = 2·x + 1 für x = 6 6 + 7 = 2·6 + 1
13 = 13 (w)
Lösung einer Gleichung
Eine Zahl ist die Lösung einer Gleichung, wenn beim Einsetzen dieser Zahl die beiden Terme den gleichen Wert haben. Es entsteht also eine wahre Aussage.
Die Lösung einer Gleichung kann durch Probieren bestimmt werden:
Setze dazu für x verschiedene Zahlen ein. Prüfe, ob eine wahre (w) oder falsche (f ) Aussage entsteht.
Löse die nachfolgende LearningApp. Setze für x die angegebenen Zahlen ein und prüfe, ob eine wahre(w) oder falsche(f) Aussage entsteht. Gib dann die Lösung der Gleichung an.
Übung 5
Prüfe, ob die angegebene Zahl die Lösung der Gleichung ist.
Übung 6
Löse die Aufgabe aus dem Buch. Schreibe die Gleichung in dein Heft und löse durch Probieren, indem du für x die angegebenen Werte einsetzt.
S. 116 Nr. 8
Schreibweise:
a) 7·x + 4 = 8·x
für x = 2 gilt 7·2 + 4 = 8·2
18 = 16 (f)
für x = 8 gilt 7·8 + 4 = 8·8
60 = 64 (f)
für x = 4 gilt 7·4 + 4 = 8·4
32 = 32 (w), also ist x = 4 die Lösung der Gleichung.
b) ...
Übung 7
Löse in der nachfolgenden LearningApp die Gleichung durch Probieren im Kopf.
Idee
Löse die Gleichung 4x + 98 = 6x durch Probieren.
Nutze dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm.
Du kannst z.B. im Office-Modul in IServ eine Office-Kalkulation erstellen.
Du benötigst 3 Spalten:
Spalte A: Werte von x; Spalte B: Wert der linken Seite der Gleichung; Spalte C: Wert der rechten Seite der Gleichung
Die Lösung der Gleichung ist der Wert für x, bei dem die Werte der linken und rechten Seite der Gleichung übereinstimmen.
Lösung:
Übung 8 - Lösen mit einer Tabellenkalkulation
Löse die Aufgaben aus dem Buch mit einer Tabellenkalkulation. Lade deine Datei im Modul Aufgaben hoch.
S. 116 Nr. 7
S. 116 Nr. 11
1.3 Anwendungsaufgaben
Es gibt verschiedene Bereiche, in denen Gleichungen Anwendung finden:
Mathematische Texte
Vorübung: Mathematische Texte
Um Zahlenrätsel lösen zu können, musst du die Fachbegriffe kennen. Übe dies im nachfolgenden Quiz
Schreibe über den Aufgabentext die passenden Rechenzeichen. Dies hilft dir beim Aufstellen der Terme.
Übung 9
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gib zunächst die Bedeutung der Variablen an, stelle dann die Terme passend zum Text auf. Notiere eine Gleichung und löse diese durch Probieren.
S. 115 Nr. 5
S. 116 Nr. 10
Geometrische Anwendungen
Vorübung: Geometrische Anwendungen
Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Geometrie erfordern Kenntnisse über verschiedene Figuren. Löse das nachfolgende Quiz zur Wiederholung.
Quadrat
u = 4·a
A = a²
Rechteck
u = 2a + 2b
A = a·b
gleichschenkliges Dreieck
u = 2a + c
2 gleich lange Seiten
α+β+γ=180°
gleichseitiges Dreieck
u = 3a
3 gleich lange Seiten
α+β+γ=180°
Übung 10
Löse die Aufgabe aus dem Buch. Gib zunächst die Bedeutung der Variablen an, stelle dann die Terme passend zum Text auf. Notiere eine Gleichung und löse diese durch Probieren.
S. 116 Nr. 13
Sachsituationen
Vorübung: Sachsituationen
Ordne in der nachfolgenden LearningApp den Termen die passende Bedeutung zu.
In allen Anwendungsbereichen ist es wichtig, dass du den Text genau liest, dir die Situation vorstellst und mit eigenen Worten beschreibst.
Übung 11
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Gib zunächst die Bedeutung der Variablen an, stelle dann die Terme passend zum Text auf. Notiere eine Gleichung und löse diese durch Probieren.
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