Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme

Allgemeines

Einführung

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Ein Zahlenpaar, das beide lineare Gleichungen erfüllt, wird Lösung des linearen Gleichungssystems genannt.

Anzahl der Lösungen

Es gibt drei Fälle für die Lösungen linearer Gleichungssysteme:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Das Gleichungssystem hat eine Lösung.
Das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssyteme

Einführende Bemerkungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Das grafische Verfahren
Das Einsetzungsverfahren
Das Additionsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren

Ein Video als Überblick

Du lernst, wie man an einem Linearen Gleichungssystem sowohl graphisch als auch rechnerisch erkennt, ob es keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.

Grafisches Verfahren

Erklärung

Du kannst die Lösungen eines linearen Gleichungssystems zeichnerisch finden, indem du beide Gleichungen als lineare Funktionen auffasst und die zugehörigen Grafen in ein Koordinatensystem zeichnest. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert die Lösung.

Video-Mathematrick

Susanne erklärt das grafische Lösen für alle drei Lösungsmöglichkeiten.

Das Einsetzungsverfahren

Begriffserklärung

Der Name Einsetzungsverfahren kommt daher, dass man eine Gleichung nach einer Variablen umstellt und diese dann in die zweite Gleichung einsetzt.

Video-Mathematrick

Susanne erklärt das Einsetzungsverfahren.

Video-Mathematrick

Eine Schülerin erklärt.

Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren

$y = -x + 2$
$4x + 3y = 2$

Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt.

Setze in der zweiten Gleichung für y die rechte Seite der 1. Gleichung ein.

Lösung des Gleichungssystems:

x = -4;y = 6

Das Additionsverfahren

Video einer Schülerin

In diesem Video erklärt eine Schülerin das Additionsverfahren.

Video einer anderen Schülerin

In diesem Video erklärt eine Schülerin nochmals das Additionsverfahren.

Bemerkung

In beiden Videos sind kleine Fehler enthalten, die aber nicht entscheidend für das Verständnis bzw. für die Lösung sind.

Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren

$y = 5x - 6$
$y = -2x + 8$

Schau Dir die Gleichungen genau an. Fällt eventuell eine der beiden Variablen sofort heraus

Erweitere die zweite Gleichung mit -1.

Lösung des Gleichungssystems:

x = 2;y = 4

Das Gleichsetzungsverfahren

Begriffserklärung

Der Name Gleichsetzungsverfahren kommt daher, dass man auf jeweils einer Seite der beiden Gleichungen den gleichen Term hat bzw. nach einer Variablen oder einem Term umstellt und somit die beiden Gleichungen gleichsetzen kann.

Lösungsschritte beim Gleichsetzungsverfahren

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).

Schritt 2: Setze die Terme gleich.

Schritt 3: Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.

Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).

Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.

Video vom Cornelsen-Verlag.

Das Gleichsetzungsverfahren

Übungen

Quiz zu allen Verfahren.

Zuordnungsübung

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