Benutzer:Gabriel.cicek/Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit/Gegenwahrscheinlichkeit von Ereignissen

Merke

Ist ein Ereignis E gegeben, so besagt das Gegenereignis Ē, dass E nicht eintritt. Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E über das Gegenereignis Ē zu berechnen

Es gilt: P(E) + P(Ē) = 1 , bzw. P(E) = 1 - P(Ē)

P(E) bedeutet die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis.

Wichtige Hilfen, die das Aufstellen von Gegenereignissen erleichtern:

Das Gegenereignis von oder ist und.

Das Gegenereignis von kleiner als ist größer als.

Das Gegenereignis von größer als ist kleiner als.

Das Gegenereignis von und ist oder.

Das Gegenereignis von maximal 300 ist mehr als 300 .

Das Gegenereignis von mindestens 300 ist weniger als 300 .

Beispiel

Zufallsversuch: Ein Würfel wird einmal geworfen.

Ereignis (E₁): Der Würfel zeigt eine Zahl, die größer als 4 ist.

Berechnung über das Gegenereignis:

Es gilt: P(E) = 1 - P(Ē), Ē bedeutet Gegenereignis

Ē₁ = Der Würfel zeigt eine Zahl, die kleiner ist als 5.

Ergebnisse, die auf Ē zutreffen, sind {4;3;2;1}

Da wir hier von einen Laplace-Versuch ausgehen, ist P(Ē) = ${4 \over6 }$

Jetzt können wird P(E) ausrechnen:

P(E) = 1 - P(Ē)

<=> P(E) = 1 - ${4 \over6 }$

<=> P(E) = ${2 \over6 }$

Übung

Bearbeite die Aufgabe aus dem Buch.

S. 181,

• Nr.2 a-e
• Nr.3
• Nr.4
• Nr.5

Tipps für die Aufgaben im Buch:

Aufgabe 2:

Aufgabe 2:

Gegenereignis in Worten meint, das Gegenteil der Ereignisse zu bilden und sie auch aufzuschreiben.

f) das Gegenteil von oder ist und

g) das Gegenteil von und ist oder

Aufgabe 4:

Aufgabe 4

Wir gehen bei dem Skatblatt von einem Laplace-Versuch aus. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse.

Um die Anzahl aller Ergebnisse zu ermitteln, benötigst du die Anzahl der Skatkarten.

Um die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu ermitteln, musst du wissen, wie viele Skatkarten auf dein Ereignis zutreffen.

Aufgabe 5:

Aufgabe 5 Tipp: Denke an die Summenregel! Du darfst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zeilen addieren!

a) Nutze zur Berechnung das Gegenereignis: 1 - (Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zahnriemen erst bei einer Laufleistung von unter 150000km reißt)

b) Gegenereignisse

1. weniger als 60000 km

2. mehr als 120000 km

3. weniger als 60000 km oder mehr als 120000 km

Lösungen der Aufgaben im Buch:

Aufgabe 2:

Aufgabe 2: a) Gegenereignis: Die Augenzahl ist gerade.

E = {1, 3, 5}; E = {2, 4, 6}; P(E) = 1 - P(E) = 1 -0,5 = 0,5 = 50%

b) Gegenereignis: Die Augenzahl ist keine Primzahl.

E = {2, 3, 5}; E = {1, 4, 6}; P(E) = 1 – 0,5 = 50%

c) Gegenereignis: Die Augenzahl ist kleiner als 4. Die Augenzahl ist höchstens 3.

E = {4, 5, 6}; E = {1, 2, 3}; P(E) = 1 - 0,5 = 50% 

d) Gegenereignis: Die Augenzahl ist größer als 4. Die Augenzahl ist mindestens 5.

E={1, 2, 3, 4}; E={5 ,6}; P(E) = 1 – 1/3  ≈ 66,7 %

e) Gegenereignis: Die Augenzahl ist durch 5 teilbar.

E = {1, 2, 3, 4, 6}; E = {5}; P(E) = 1 - 1/6 ≈ 83,3 %

f) Gegenereignis: Die Augenzahl ist weder durch 2 noch durch 3 teilbar.

E = {2 , 3, 4, 6}; E = {1, 5}; P(E) = 1 - 1/3  ≈ 66,7 %

g) Gegenereignis: Die Augenzahl ist größer als 2 und kleiner als 6.

E = {1, 2, 6}; E= {3, 4, 5}; P(E) = 1 - 0,5 = 50%

h) Gegenereignis: Die Augenzahl ist keine Primzahl oder ungerade.

E = {2}; E = {1, 3, 4, 5, 6}; P(E) = 1 - 5/6 ≈ 16,7 %

Aufgabe 3:

Aufgabe 3

a) 75 %

b) 80 %

Aufgabe 4:

Aufgabe 4

(1) E: Die Karte ist Herz, Pik oder Karo. P(E) = 1 - 0,75 = 0,25 = 25 %

(2) E: ,Die Karte ist ein König. P(E) = 1 - 0,125 = 0,875 = 87,5%

(3) E: Die Karte ist Pik. P(E) = 1  - 0,25 = 0,75 = 75%

(4) E: Die Karte ist rot, aber kein Bube. P(E) = 1 - 0,4375 = 0,5625 = 56,25%

(5) E: Die Karte ist schwarz oder ein Bube. P(E) = 1 - 0,5625 = 0,4375 = 43, 75%

(6) E: Die Karte ist Pik oder König oder Bube. P(E) = 1 - 0,4375 = 0,5625 = 56,25%

Aufgabe 5:

Aufgabe 5:

a) 29 %

b)

(1) 89 %

(2) 50 %

(3) 39 %