Digitale Werkzeuge in der Schule/Mathematik im Beruf/Tischlerinnen und Tischler

Dein Praktikum bei Herrn Meier

Herr Meier ist Tischler. Weil du dich für den Beruf des Tischlers oder der Tischlerin interessierst, begleitest du ihn heute bei seiner Arbeit. Ihr besucht heute ein Grundstück, für das Herr Meier gerade zuständig ist. Dabei müsst ihr einige fertige Möbel aufbauen und anbringen sowie neue Konstruktionen planen.

Aufgabe 1: Probleme sammeln

Welche Probleme könnten euch während eures Praktikums bei Herrn Meier begegnen, bei denen die Mathematik euch hilft? Nenne drei Probleme die dir begegnen könnten und notiere sie auf deinem Arbeitsblatt. Nutze die Bilder, falls du Hilfe benötigst.

Hütte aus Holz

Dachgiebel

Vorwissen

Um Herrn Meier behilflich zu sein, musst du dich an einige Inhalte aus dem Mathematikunterricht erinnern. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben.

Aufgabe 2: Das rechtwinklige Dreieck

Wie ist ein rechtwinkliges Dreieck aufgebaut? Ordne zu, welche Seiten sind die Katheten, welche Seite ist die Hypotenuse? Klicke dazu auf die roten Markierungen, um eine Antwort auszuwählen. Bei diesem Symbol bekommst du einen Hinweis.

Aufgabe 3: Satz des Pythagoras

Wie lautet der Satz des Pythagoras?

Aufgabe 4: Lückentext

Fülle nun auf deinem Arbeitsblatt den Lückentext aus.

Aufgaben im Praktikum

Jetzt geht es los: An deinem Praktikumstag hat Herr Meier einige Aufgaben für dich.

Die Dachstütze

Die geplante Kopfbandkonstruktion

Aufgabe 5: Dachstütze

a) Zuerst sollst du ein Bauteil für einen Dachstuhl verleimen und zwar als rechtwinkliges Dreieck. Die Längen der Holzbalken sollst du an der Konstruktion abmessen. Du hast die Längen 3 dm, 4 dm und 5 dm abgemessen. Zeige, dass du mit diesen Längen ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren kannst.

Setze zwei Seitenlängen des Dreiecks in den Satz des Pythagoras ein und überprüfe. Überlege zuerst, welche Seiten die Katheten sind und welche die Hypotenuse ist.

Die längste Seite ist die Hypotenuse, also haben wir c = 5 dm und die beiden anderen Seiten sind die Katheten mit a = 3 dm und b = 4 dm. Also muss gelten:

$\begin{align} &&a^2 + b^2 &=c^2\\ \Leftrightarrow &&3^2 + 4^2&=5^2 \end{align}$

Wir rechnen nach:

$\begin{align} a^2 + b^2 &= 3^2 + 4^2\\ &= 9 + 16\\ &= 25\\ &= 5^2 = c^2 \end{align}$

Also kann man mit den gegebenen Längen ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren.

b) Für eine Kopfbandkonstruktion nennt dir Herr Meier eine Höhe von 45 cm und Breite von 45 cm. Du sollst nun das Kopfband zuschneiden. Die Länge dessen ist nicht bekannt und die gesamte Konstruktion muss noch angefertigt werden, sodass du die Länge nicht ausmessen kannst. Berechne die Länge des Kopfbandes.

Die gesuchte Seite ist die Hypotenuse.

$\begin{align} & & 45^2 + 45^2 &= c^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 4050 &= c^2 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & \sqrt{4050} &= c \\ \Leftrightarrow & & c &\approx 63{,}6396 \end{align}$

Aufgabe 6: Gartenhäuschen

Im Garten soll ein Spielhäuschen aufgebaut werden. Als Dach sollen zwei Holzplatten dienen, die jeweils rechts und links an den Dachgiebel angebracht werden. Berechne wie lang die rot makierte Seite der Holzplatte sein muss, wenn das Häuschen insgesamt 1,5 m breit und 1,5 m hoch ist. Die Höhe des Häuschens ohne das Dach beträgt 1,10 m.

Der Plan des Gartenhäuschens

Überlege wo du in diesem Konstrukt ein rechtwinkliges Dreieck findest, was dir zur Berechung helfen kann.

Das gefragte Dreieck ist in grün eingezeichnet. Überlege, welche Längen der Seiten des Dreiecks du dir aus den Beschriftungen erschließen kannst.

Rechtwinkliges Dreieck im Dachgiebel

Wir betrachten die waagerechte Seite $a = 75 cm$ und die senkrechte Seite $b = 40 cm$. Diese Längen setzen wir in den Satz des Pythagoras ein:

$\begin{align} & & 40^2 + 75^2 &= c^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 7225 &= c^2 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & 85 &= c \end{align}$

Also ist die gefragte Länge 85 cm.

Aufgabe 7: Eckschrank

Nach den Arbeiten im Garten seid ihr nun wieder im Wohnzimmer. Hier soll ein Eckschrank konstruiert werden. Die Tür dieses Schranks soll in der Mitte zu öffnen sein und dann zu beiden Seiten aufgehen. Der Schrank endet an den Wänden nach jeweils 35 cm. 

Berechne die Länge einer Tür. Da das Ergebnis sehr genau sein muss, runde auf drei Nachkommastellen.

Zur genaueren Vorstellung der Konstruktion siehe dir die Skizze "Eckschrank" an.

Die gesuchte Länge ist die Hälfte der Hypotenuse. Wir berechnen zunächste die gesamte Länge der Hypotenuse mit Hilfe des Satz des Pythagoras: $\begin{align} & & 35^2 + 35^2 &= c^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 2450 &= c^2 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & 49,497 &\approx c \end{align}$

Da nur nach der Länge einer Tür gefragt ist, müssen wir das Ergebnis noch durch zwei teilen. $\begin{align} & & 49,497 : 2 &= 24,749 \end{align}$

Also beträgt die Länge einer Tür 24,749 cm.

Zusatzaufgabe*: Ist dir die Aufgabe 5 leicht gefallen, hat Herr Meier noch eine Steigerung parat. Ein weiterer Eckschrank soll gebaut werden. Dieser hat allerdings die Besonderheit, dass er sich zwischen zwei bereits vorhandenen Schränken befinden soll. Diese stehen jeweils 90 cm von der Zimmerecke entfernt und sind jeweils 55 cm breit. Dieses Mal soll es eine durchgängige Tür sein, die von dem einen Schrank zum anderen reicht. Berechne die Länge dieser Schranktür. Runde auch hier wieder auf drei Nachkommestellen.

Eckschrank zwischen zwei Schränken

Die grün markierte Seite ist die gesuchte Länge. Man denkt sich das grau gezeichnete rechtwinklige Dreieck dazu, ermittelt die Werte dieser und kann dann den Satz des Pythagoras anwenden.

Lösungsskizze Aufgabe 7

In der Skizze sehen wir das rechtwinklinge Dreieck, welches man zur Berechnung der grün markierten Seite konsturiert hat. Durch rechnen mit den gegebenen Werten finden wir für dieses Dreieck die notwendigen Maße. Diese betragen an beiden Seiten 40 cm. Mit diesen wenden wir dann den Satz des Pythagoras an:

$\begin{align} & & 40^2 + 40^2 &= c^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 3200&= c^2 & &\mid \surd\\ \Leftrightarrow & & 56,569&\approx c \end{align}$

Somit beträgt die Länge der Schranktür 56,569 cm.