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Pyramiden konstruieren

Pyramide in Potsdam.

Pyramiden begegnen uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in der realen Welt, wie z.B. in Architektur (Bild rechts) und Bauingenieurwesen (Konstruktion und Betrieb von Bauwerken des Hoch-, Verkehrs-, Tief- und Wasserbaus).

► Notiere zwei pyramidenartige Gegenstände oder Gebäude, die dir aus dem Alltag bekannt sind.

In diesem Kapitel, "Pyramiden konstruieren", lernst du, wie du...

1. das Netz einer Pyramide zeichnest
2. aus diesem Netz eine Pyramide faltest
3. das Schrägbild einer Pyramide erstellst.

Am Ende folgt eine Sicherung der in diesem Kapitel behandelten Themen. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Bearbeiten den Aufgaben!

Einführung

Definition: Netz eines Körpers

Das Netz eines Körpers stellt diesen "auseinandergefaltet", also mit ausgebreiteten Flächen dar. Diese Darstellung erleichtert z.B. die Herstellung eines solchen Körpers aus Papier.

► Ordne den unten dargestellten Netzen die Körper zu, die daraus hergestellt werden können; mögliche Körper sind dabei: Würfel, Tetraeder (Pyramide mit dreieckiger Grundfläche), Quader, Dreiecksprisma, Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Halte deine Ergebnisse schriftlich fest.

Gelbes Netz: Dreiecksprisma, hellblaues Netz: Tetraeder, braunes Netz: Würfel, grünes Netz: Quader, lila Netz: Pyramide quadratischer Grundfläche

1. Netze entwerfen

1.1. Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

► Folge den Schritten (a) bis (e), um das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zu zeichnen. Deine Zeichnung soll nach dieser Anleitung im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der obigen Abbildung.

a) Zeichne zuerst ein Quadrat.

b) Zeichne nun in das Quadrat die beiden Diagonalen ein; deren Schnittpunkt kennzeichnest du mit einem S.

c) Tu folgendes für alle vier Seiten des Quadrats: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch S und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die vier Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Zeichne diese Punkte ein und nenne sie A, B, C bzw. D.

d) Zeichne jetzt, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine 4cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.

e) Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.

1.2. Tetraeder erkunden

Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche; ein Rechteck, Dreieck, Sechseck usw. als Grundfläche ist ebenfalls möglich. Ein besonderer Fall ist die Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (womit die Grundfläche auch dreieckig ist); dieser Körper heißt Tetraeder.

Definition: Tetraeder

Ein (regelmäßiger) Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht. Somit ist auch die Grundfläche ein Dreieck.

► Zeichne nun das Netz eines Tetraeders, der aus gleichseitigen Dreiecken besteht.

2. Körper herstellen

2.1. Vom Netz zum Körper

Eben hast du (mindestens) ein Körpernetz gezeichnet. Nun soll daraus ein dreidimensionaler Körper hergestellt werden. Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt.

► Bewege den Schieberegler, um die Seitenflächen des Tetraeders aufzurichten oder abzusenken. Durch Verschieben der Eckpunkte kannst du die Gestalt der Pyramide verändern.

2.2. Pyramide mit quadratischer Grundfläche herstellen

► Stelle aus dem in 1.1. angefertigten Netz eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her. Fixiere die Mantelfläche mit Klebeband, um zu verhindern, dass sich die Pyramide wieder "öffnet".

3. Schrägbilder zeichnen

Definition: Schrägbild

Schrägbilder stellen dreidimensionale Körper zweidimensional dar.

3.1. Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

► Zeichne das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Grundflächenkantenlänge a = 5cm und Körperhöhe H = 6cm, indem du wie folgt vorgehst:

a) Zeichne zuerst die Grundfläche. Stell dir vor, die Grundfläche würde "nach hinten weggehen". Diese perspektivische Darstellung gelingt dir, indem du 1. die "nach hinten weggehenden" Kanten nur halb so lang wie eigentlich und 2. unter einem Winkel von 45° (Verzerrungswinkel) zeichnest (siehe Abbildung oben).

b) Vervollständige das Schrägbild.

Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem 45°-Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt; die Fläche, auf der der Quader steht, heißt Grundfläche; die vier Seitenflächen ergeben zusammen die Mantelfläche. Zeichne auf der Fläche, der der Grundfläche gegenüberliegt (sozusagen die "Dachfläche") die beiden Diagonalen ein. Bezeichne deren Schnittpunkt mit S. Verbinde S mit den unteren vier Ecken des Quaders.

3.2. Schrägbild einer Pyramide mit n-eckiger Grundfläche

► Überlege dir, welche Grundfläche deine Pyramide haben soll (Bsp.: dreieckige, quadratische, sechseckige Grundfläche). Zeichne nun das passende Schrägbild.

4 Sicherung

4.1 Lückentext

► Vervollständige den folgenden Lückentext; notiere dafür zu jeder Zahl den passenden Begriff.

Die Grundfläche einer Pyramide kann (1) ____________ besitzen . Eine Pyramide aus vier (2) ____________ Dreiecken heißt (3) ____________. Das Netz eines Körpers zeigt dessen Flächen perspektivisch (4) ______________. Aus diesem Netz lässt sich der (5) ____________ herstellen. Das (6) ____________ eines Körpers stellt diesen (7) ____________ dar. Dabei ist zu beachten, dass die in die Tiefe ("nach hinten") gehenden Kanten nur (8) ____________ wie in Wirklichkeit dargestellt werden. Im Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche gehen die seitlichen Kanten der Grundfläche in einem Winkel von (9) ____________ in die Tiefe; dieser Winkel wird (10) ____________ genannt.

1) beliebig viele Ecken; 2) gleichseitigen; 3) Tetraeder; 4) unverzerrt; 5) Körper; 6) Schrägbild; 7) zweidimensional; 8) halb so lang; 9) 45°; 10) Verzerrungswinkel

4.2 Praktische Sicherung

a) Eine Scheune ist 40m lang, 30m breit und hat eine Höhe von 10m. Das Dach dieser Scheune hat die Form einer Pyramide. Zeichne das Netz des Daches im Maßstab 1:100.

Im Maßstab 1:100 entspricht 1m in der Realität 1cm in deiner Skizze.

b) Zeichne nun das Schrägbild dieser Pyramide ebenfalls maßstabsgetreu.

c)* Wähle eine n-eckige Grundfläche aus und zeichne das Netz dieser Pyramide. Zeichne nun auch das Schrägbild deiner Pyramide.