Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

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In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

 

Winkel messen

Aufgabe 1: Winkel an Geraden

Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.

Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt. zurück zum Arbeitsblatt

$\alpha$= 120()°
$\beta$= 60()°

$\gamma$=60()°

Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind

• $\alpha$ (Alpha, griechisches a)
• $\beta$ (Beta, griechisches b)
• $\gamma$ (Gamma, griechisches g)

Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet

Erkundung

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel $\gamma$ gleich groß ist, wie der Winkel unter $\gamma$. Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".

Aufgabe 2: Gleiche Winkel

1. Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte A und B.

2. Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

(Applet von I. Schwalbe)

Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch die Winkel am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß, genau so wie die Winkel $\gamma$ und $\delta$. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu $180^\circ$. Deshalb ergibt $\alpha +\beta +\gamma +\delta=$ $360^\circ$.

Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch Scheitelwinkel.

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Merksatz: Scheitelwinkel

Scheitelwinkel

Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.

Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, Scheitelwinkel. Diese Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Aufgabe 3: Wie kann das sein?

Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest. zurück zum Arbeitsblatt

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Winkel an mehreren Geraden

Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind.

Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden

Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

(Applet von B. Lachner)

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Merksatz: Stufenwinkel

Stufenwinkel

Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.

Wenn zwei parallele() Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen zwei() Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel $\alpha$ und $\beta$, so nennen wir diese Art von Winkeln Stufenwinkel(), welche gleich groß() sind.

Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.

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Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen

• zwei
• Stufenwinkel
• parallele
• gleich groß

Aufgabe 4: Zuordnung

Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was Neben-, Scheitel- und Stufenwinkel sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.

Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an. Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?

Welche der Geraden sind parallel?

Übungsaufgaben

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen

Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

1. $\alpha_{1}$ und $\alpha_{3}$ sind Scheitelwinkel. richtig()
2. $\alpha_{1}$ und $\alpha_{2}$ sind Stufenwinkel. falsch()
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. richtig()
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. falsch()
5.$\alpha_{1}$ und $\beta_{1}$ sind Stufenwinkel. richtig()

6.$\alpha_{2}$ ist ein Stufenwinkel zu $\beta_{2}$ und $\beta_{2}$ ist ein Scheitelwinkel zu $\beta_{4}$. Also sind $\alpha_{2}$ und $\beta_{4}$ gleich groß. richtig()

Ausschnitt der bayrischen Flagge

Aufgabe 4: Bayrische Flagge

Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln $\alpha$ und $\beta$. Der Winkel $\alpha$ ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel $\beta$? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man $\beta$ bestimmen kann.

Leiter an der Hauswand

Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe

Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist $\alpha$=60° bekannt. Berechne den Winkel $\beta$ zwischen dem Schornstein und dem Dach.

Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden

Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind.

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel $\beta$ ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

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