Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel , und untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
= 120()° = 60()°
=60()°
Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel gleich groß ist, wie der Winkel unter .
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
Aufgabe 2: Gleiche Winkel
1. Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte A und B.
2. Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.
(Applet von I. Schwalbe)
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch die Winkel am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel und gleich groß, genau so wie die Winkel und . Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu . Deshalb ergibt .
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch Scheitelwinkel.
Merksatz: Scheitelwinkel
Scheitelwinkel
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, Scheitelwinkel. Diese Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Aufgabe 3: Wie kann das sein?
Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind.
Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden
Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.
(Applet von B. Lachner)
Merksatz: Stufenwinkel
Stufenwinkel
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
Wenn zwei parallele() Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen zwei() Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel und , so nennen wir diese Art von Winkeln Stufenwinkel(), welche gleich groß() sind.
Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was Neben-, Scheitel- und Stufenwinkel sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?
Übungsaufgabe
Ausschnitt der bayrischen Flagge
Aufgabe 4: Bayrische Flagge
Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln und . Der Winkel ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel ? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.
Aufgabe 4a): Bayrische Flagge
Bestimme die fehlenden Winkel!
Anwendungsaufgabe
Leiter an der Hauswand
Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe
Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist =60° bekannt. Berechne den Winkel zwischen dem Schornstein und dem Dach.
Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden
Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind.
Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.
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