Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

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In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

 

Winkel messen

Aufgabe 1: Winkel an Geraden

Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.

Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.

$\alpha$= 120()°
$\beta$= 60()°

$\gamma$=60()°

Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind

• $\alpha$ (Alpha, griechisches a)
• $\beta$ (Beta, griechisches b)
• $\gamma$ (Gamma, griechisches g)

Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet

Erkundung

Nachdem Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel $\gamma$ nochmals gegenüber vom Winkel $\beta$ zu finden ist und er behauptet: "Die Winkel $\beta$ und $\gamma$ sind ja gleich groß!".

Aufgabe 2: Gleiche Winkel

1. Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte A und B.

2. Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

(Applet von I. Schwalbe)

Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch die Winkel am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß, genau so wie die Winkel $\gamma$ und $\delta$. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu $180^\circ$. Deshalb ergibt $\alpha +\beta +\gamma +\delta=$ $360^\circ$.

Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch Scheitelwinkel.

Merksatz: Scheitelwinkel

Scheitelwinkel

Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.

Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, Scheitelwinkel. Diese Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Aufgabe 3: Wie kann das sein?

Kannst du eine Begründung finden, warum Scheitelwinkel gleich groß sind? Schaue dir hierfür das folgende Video an.

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Winkel an mehreren Geraden

Tim hat nun festgestellt, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch mehrere Geraden die teilweise parallel zueinander liegen. Er fragt sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind.

Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden

Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

(Applet von B. Lachner)

Merksatz: Stufenwinkel

Stufenwinkel

Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt.

Wenn zwei parallele() Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen zwei() Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel $\alpha$ und $\beta$, so nennen wir diese Art von Winkeln Stufenwinkel(), welche gleich groß() sind.

Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.

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Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen

• zwei
• Stufenwinkel
• parallele
• gleich groß

Aufgabe 4: Zuordnung

Nachdem Tim jetzt weiß, was Neben-, Stufen- und Wechselwinkel sind, hat er sich selber Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehrere Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.

Anwendung

Ausschnitt der bayrischen Flagge

Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln $\alpha$ und $\beta$. Der Winkel $\alpha$ ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel $\beta$? Begründe deine Antwort, mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Wechselwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

Aufgabe 4a): Anwendungsaufgabe

Bestimme die fehlenden Winkel!

Transferaufgabe

Leiter an der Hauswand

Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe

Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist $\alpha$=60° bekannt. Berechne den Winkel $\beta$ zwischen dem Schornstein und dem Dach!

Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden

Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind.

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel $\beta$ ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.