Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

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Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

 

Winkel messen

Aufgabe 1: Winkel an Geraden

Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.

Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.

$\alpha$= °
$\beta$= °

$\gamma$= °

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Tipp

Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind

• $\alpha$ (Alpha, griechisches a)
• $\beta$ (Beta, griechisches b)
• $\gamma$ (Gamma, griechisches g)

Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet

Erarbeitung

Scheitelwinkel

Aufgabe 2: Grundlagen zu Scheitelwinkeln

1. Untersuche das folgende GeoGebra-Applet, indem du dir die Winkel anzeigen lässt und die Position der Geraden veränderst. Verschiebe hierfür die Punkte A und B.

2. Beschreibe danach deine Beobachtungen, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

(Applet von I. Schwalbe)

Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel $\alpha$ und $\beta$ , genau so wie die Winkel $\gamma$ und $\delta$. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu . Deshalb ergibt $\alpha +\beta +\gamma +\delta=$ .

$360^\circ$gleich groß$180^\circ$die Winkel

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Aufgabe 3: Erklärung Scheitelwinkel

Warum sind Scheitelwinkel gleich groß? Begründe deine Beobachtungen aus Aufgabe 2 mit geometrischen Argumenten.

Tipp

Welche der folgenden Begriffe aus der Geometrie könnten dir bei deiner Begründung helfen?

Klicke die Begriffe an, die dir helfen könnten.

	Drehung
	Spiegelung
	Verschiebung

Lösung

Wenn an dem Schnittpunkt eine Drehung um $180^\circ$ durchgeführt wird, dann dreht sich der Winkel ebenfalls mit. Da durch eine Drehung die Größe des Winkels gleich bleibt, sind Scheitelwinkel auch gleich groß.

Ebenso wäre es möglich an dem Schnittpunkt eine Spiegelung durchzuführt. Hierbei wird der Winkel auf die andere Seite gespiegelt. Weil durch die Spiegelung der Winkel nicht verändert wird, sind Scheitelwinkel gleichgroß.

Aufgabe 4: Beweis

Kannst du mit mathematischen Formel erklären, warum Scheitelwinkel gleich groß sind?

Tipp

Was weißt du über gestreckte Winkel? Betrachte alle Winkel um den Schnittpunkt der Geraden und dein Wissen über gestreckte Winkel.

Lösung

Da sich zwei Nebenwinkel zu $180^\circ$ ergänzen gilt $\alpha+\beta=180^\circ$. Da $\beta$ und $\gamma$ auch einen gestreckten Winkel bilden, gilt ebenfalls $\beta+\gamma=180^\circ$. Werden nun diese beiden Gleichungen voneinander subtrahiert, so gilt $\alpha+\beta-(\beta+\gamma)=180^\circ-180^\circ$. Durch Umstellen ergibt sich also $\alpha =\gamma$.

Merksatz: Scheitelwinkel

Scheitelwinkel

Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt.

Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, Scheitelwinkel. Diese Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Stufenwinkel

Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden

Betrachten wir nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden. Schaue dir hierfür ein weiteres GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Was fällt dir auf?

(Applet von B. Lachner)

Merksatz: Stufenwinkel

Stufenwinkel

Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt.

Wenn zwei Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel $\alpha$ und $\beta$, so nennen wir diese Art von Winkeln , welche sind.

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Anwendung

Ausschnitt der bayrischen Flagge

Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln $\alpha$ und $\beta$. Der Winkel $\alpha$ ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel $\beta$? Begründe deine Antwort, mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Wechselwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

Aufgabe 4a): Anwendungsaufgabe

Bestimme die fehlenden Winkel!

Transferaufgabe

Leiter an der Hauswand

Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe

Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist $\alpha$=60° bekannt. Berechne den Winkel $\beta$ zwischen dem Schornstein und dem Dach!

Tipp 1 anzeigen

Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden

Tipp 2 anzeigen

Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind.

Tipp 3 anzeigen

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel $\beta$ ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.