Ziehe den Schieberegler im nachfolgenden GeoGebra-Applet und bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft:
a) Gib die jeweilige Seitenlänge und den Flächeninhalt der Quadrate an bis zum Flächeninhalt 100 Kästchen.
b) Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 169 Kästchen. Wie lang ist eine Seite?
c) Kannst du Quadrate mit dem Flächeninhalt von 2 Kästchen (3 Kästchen) zeichnen?
4.2 (Quadrat)wurzel - Definition
(Quadrat)wurzel - Definition
Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl b ist die positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert b ergibt:
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.
S. 75 Nr. 10
S. 75 Nr. 11
S. 75 Nr. 12
144a = 14400m²
(Lösung: 48m)
Berechne zunächst die Fläche des Rechtecks A = a∙b
a) A = 18∙8 = 144
Nun überlege, welche Seitenlänge das Quadrat mit dem Flächeninhalt A = 144 (m²) besitzt:
144 = a² | = a
12 = a
Das Quadrat hat eine Seitenlänge von 12m.
Übung 4(***)
Löse im Heft die Aufgaben aus dem Buch
S. 76 Nr. 14
S. 76 Nr. 15
Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 Quadraten:
O = 6a²
24 = 6a² |:6
4 = a² |
...
Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus nur 10 Quadraten, denn zwei Flächen innen berühren sich. Rechne dann wie in Aufgabe a)
Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus 26 Quadraten, da nur die außen liegenden Quadrate gezählt werden.
Wenn 100 Quader in eine Reihe gelegt werden, entstehen 4∙100 + 2 = 402 quadratische Flächen mit dem Flächeninhalt a². Es gilt also O = 402a².
Bestimme nun die Kantenlänge a und berechne damit das Volumen.
Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.
Lösung zu a) 22 Quadrate
b) 50 Quadrate
4.3 Irrationale Zahlen - Bestimmen von Quadratwurzeln
Quadratwurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahl sind, lassen sich nur annähern.
So liegt z.B. der Wert von im Intervall [1;2], also zwischen und 1 und 2, denn 1² < 2 < 2².
Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:
(Applet von W. Wengler)
hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen.
Irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die nicht periodisch werden. Quadratwurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.
Den meisten ist es zwar egal, doch ist irrational...
Du kannst durch Annäherung feststellen, zwischen welchen natürlichen Zahlen die Quadratwurzel einer Zahl liegt: liegt zwischen den Zahlen 5 und 6, denn
Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, muss du die Zahl finden, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt:
222 = 23 = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert: =2
Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel).
Kubikwurzel - 3. Wurzel
Die 3. Wurzel einer Zahl a ist die Zahl b, die dreimal mit sich selbst malgenommen die Zahl a ergibt: bbb = a, also gilt =b.
Übung 8 - Kopfrechnen
Löse aus dem Buch
S. 79 Nr. 11
Übung 9 - Löse mit dem Taschenrechner
Löse aus dem Buch
S. 79 Nr. 12
S. 79 Nr. 13
S. 79 Nr. 15 (mit Taschenrechner)
Übung 10 - Anwendungen
Löse aus dem Buch
S. 79 Nr. 14
Beachte Schreibweisen:
geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a
a3 = 512 |
a =
a = 8 [cm]
Beachte, dass du zwei Würfel gegeben hast, also gilt:
2a3 = 843,75 |:2
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144a = 14400m²
