Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Punkten und Vektoren im Raum. Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Wiederholung von Punkten und Vektoren

Merksatz

Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den Ortsvektor. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt $A(1|2|3)$ gehört also der Ortsvektor $\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Koordinatensystem

Aufgabe 1: Koordinatensysteme

Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

1. Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
2. Zeichne die Punkte $A (1|2|1)$,$B(1|4|2)$, $C(1|2|{-}1{,}5)$ und $D(1|4|{-}0{,}5)$ in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren $\vec{ AB }$ , $\vec{ AC }$,$\vec{ CD }$ und $\vec{ BD }$ ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
3. Nutze den Punkt $A (1|2|1)$ aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte $E (-1|2|1)$,$F(1|0|1)$, $G(-1|0|1)$ und $H(0|1|5)$. Zeichne nun die Verbindungsvektoren $\vec{ AE }$,$\vec{ AF }$, $\vec{ AH }$, $\vec{ EG }$, $\vec{ FG }$, $\vec{ FH }$ , $\vec{ EH }$ und $\vec{ GH }$ ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

Tipp

Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

Lösung

Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.

Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem

Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt $A(0|0|0)$. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der $x_1$-$x_2$-Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 6 Längeneinheiten über der Grundfläche.

Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte $B$,$C$ und $D$  ?

	$B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0)$
	$B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5)$
	$B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0)$
	$B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1)$

Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?

	Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt $5 \text{ LE}^2$.
	Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt $10 \text{ LE}^2$.
	Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt $25 \text{ LE}^2$.

Tipp 2

Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.

Wo liegt der Spitze der Pyramide ?

	Die Spitze der Pyramide liegt bei $S (2{,}5|2{,}5|6)$.
	Die Spitze der Pyramide liegt bei $S (5|5|5)$.
	Die Spitze der Pyramide liegt bei $S (2{,}5|2{,}5|5)$.

Tipp 3

Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.

Vektoren als Verschiebungen

Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren

Betrachte die dargestellten Verschiebungen $\vec{u}$ (grün) , $\vec{v}$ (gelb) und $\vec{w}$ (schwarz). Außerdem sind die Punkte $A(3|0|0)$, $B(0|2|0)$ und $C(0|0|1)$ bekannt.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

1. $A(3|0|0)$ $+ \vec{w}$
2. $C(0|0|1)$ $- \vec{u}$
3. $A(3|0|0)$ $- \vec{u}-\vec{w}-\vec{v}$
4. $C(0|0|1)$ $- \vec{u}+\vec{u}$
5. $B(0|2|0)$ $+ 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w}$

Lösung

1. $B(0|2|0)$
2. $B(0|2|0)$
3. $A(3|0|0)$
4. $C(0|0|1)$
5. $A(3|0|0)$

Rechnen mit Vektoren

Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren

Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation

Wir definieren zwei für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die bezeichnet das Bilden der zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele haben. Man bildet die Summe, indem man die der Vektoren addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „“ von zwei von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als deuten, bedeutet die Addition, dass wir die hintereinanderlegen, so dass der von $\vec{b}$ und die „“ von $\vec{a}$ übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der bekannt. Dort werden oftmals und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren $\vec{a} + \vec{b}$ als der durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellten gesehen werden kann.

AnfangSpitzePfeilekomponentenweiseVerschiebungenKräfteHintereinander-AusführenPfeilenKomponentenPfeileAneinanderlegenSummeVektoradditionRechenoperationenPhysikKomponenten

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Das Bilden des eines Vektors wird auch als bezeichnet. Wir nennen unseren wieder $\vec{a}$ und das bezeichnen wir mit $c$. Von jedem Vektor kann das gebildet werden, indem von $\vec{a}$ werden. Ist so wird der „Pfeil“ von $\vec{a}$ um den Faktor $c$ gestreckt () oder gestaucht (). Ist , so erhält der Pfeil, der um den Faktor $c$ gestreckt oder getaucht wird, noch eine . Für den Fall sprechen wir dann vom von $\vec{a}$.

Wir nennen zwei Vektoren (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein ist. Mit anderen Worten: Wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zwei Vektoren sind, so sind sie zueinander, falls ein existiert, sodass gilt: . Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in zeigen oder nicht.

Richtungenfalls $c < 1$Vektor$c>0$parallel/kollinearRichtungsumkehrungalle KomponentenMultiplikation mit einem SkalarSkalarverschiedenefalls $c > 1$$c=-1$Vielfaches des anderenverschiedene$c \vec{a}=\vec{b}$$c$ -FacheGegenvektormit $c$ multipliziertVielfachenSkalar $c$kollinear$c<0$

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Kollinearität von Vektoren

Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren

Länge und Abstände von Vektoren

Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren

Berechne die Länge der Vektoren:

1 $\vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

	$11$
	$12$
	$13$
	$14$

2 $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

	$1$
	$2$
	$\sqrt{2}$
	$\frac{1}{2}$

Tipp 1

Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.

Berechne den Abstand der Punkte:

1 $A(8|9|10)$ und $B(2|6|8)$

	$9{,}5$
	$7$
	$8$
	$6{,}5$

2 $A(-1|{-}2|2)$ und $B(-3|{-}1|0)$

	$3$
	$6$
	$9$
	$12$

Tipp 2

Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von $A$ und $B$. Wenn man sich den ersten Eintrag von $A$ anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von $B$. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von $A$ nach $B$ oder alle Einträge von $B$ nach $A$. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben

Geometrische Objekte untersuchen

Aufgabe 8: Besondere Vierecke

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(3|3|5)$, $B(3{,}5|3{,}5|1)$ und $C(6{,}5|2{,}5|3)$ gegeben.

a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?

	rechtwinkliges Dreieck
	gleichseitiges Dreieck
	gleichschenkliges Dreieck

b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck $ABC$. Ein neuer Punkt $Q$ soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck $ABC$ ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu $Q$? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!

	$Q(6|2|7)$
	$Q(7|4|3)$
	$Q(0|4|3)$
	$Q(6|3|{-}1)$

Tipp 1

Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.

Tipp 2

Du musst Gegenvektoren verwenden.

Tipp 3

Verwende den Vektor $\vec{ CA }$ am Punkt $B$ für eines der Parallelogramme und den Vektor $\vec{ BA }$ am Punkt $C$ für das zweite Parallelogramm.

c) Sei $P$ nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss $P$ haben, damit $P$ gemeinsam mit $A$, $B$ und $C$ die Eckpunkte einer Raute bildet?

	$P(7|3|{-}1)$
	$P(-7|{-}3|1)$
	$P(5|2|{-}3)$
	$P(-5|{-}2|3)$

Tipp 1

Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.

Tipp 2

In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.

Tipp 3

Verwende den Vektor $\vec{ AC }$ am Punkt $B$.

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