a) Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung
beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt
. Eine Längeneinheit
im Koordinatensystem entpricht
.
Welche Höhe hat die Pyramide in
?
Text zum Verstecken
Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze
und der Ebene
bestimmt.
Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden
zu
durch
aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von
als Stützvektor und den Normalenvektor von
als Richtungsvektor, also:
.
Wir bestimmen den Schnittpunkt von
mit
. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von
in
ergibt
, also
. Durch Einsetzen in die Geradengleichung
erhalten wir den Lotfußpunkt
. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.
Der Abstand zwischen S und L beträgt
![{\displaystyle 6LE}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9c38dab7e91717e1afe91795c7602243&mode=mathml)
wegen
![{\displaystyle |\vec{SL}|=\sqrt((4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2)=6 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0529badd0a2a71396c6718856351cb64&mode=mathml)
. Die Pyramide hat also eine Höhe von
![{\displaystyle 24m}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8e0153c79d3e0f11e65d8e0ddaa03d65&mode=mathml)
.
Die Pyramide hat eine Höhe von
![{\displaystyle 24m }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a85e2a060eb6dba5fbafd1073e1e5ec1&mode=mathml)
.
b) An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils
. Die Grundfläche hat
lange Diagonalen, die sich im Punkt
schneiden. In welchem Punkt
liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?
Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von
zur Spitze gelangen.
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.
Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen:
Es ist
, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide
, was
im Koordinatensystem entspricht.
Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von
zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.
Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt
der Grundfläche aus
entlang der Geraden, die orthogonal zu
ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht
in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von
.
Es ist
.
Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt
die Spitze liegt:
Es ist
![{\displaystyle \begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -36 \frac{1}{3} \end{pmatrix}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cd4a327f3f0ee9b7212dd40774ccde65&mode=mathml)
, also erhält man
![{\displaystyle S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7f4b04b3b77d78ca9f9553ae4ef649f6&mode=mathml)
Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt
![{\displaystyle S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7f4b04b3b77d78ca9f9553ae4ef649f6&mode=mathml)
.