Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit Geraden im Raum. Du lernst, Geraden im Raum durch Vektoren zu beschreiben, Parameterdarstellungen und Spurpunkte von Geraden zu bestimmen, die Lage von Geraden im Raum und zueinander zu bestimmen sowie Geradenscharen zu bestimmen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Einführung

Parameterdarstellung einer Geraden

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Aufgabe 1

Stelle eine Gleichung einer Geraden in Parameterdarstellung auf, die durch folgende Punkte verläuft: A(1/2/3), B(1/3/4)

Lagebeziehungen von Geraden

Hinweis

In diesem Abschnitt beschäftigst du dich mit der Lagebeziehung von Geraden im Raum.

Definition

Wir unterscheiden die Lage zweier Geraden in identisch, parallel, geschnitten und windschief. Um die Lage zweier Geraden zu ermitteln, betrachtet man zunächst die Richtungsvektoren. Sind diese zueinander kollinear (sind Vielfache voneinander), so können die Geraden lediglich identisch oder parallel sein.

Um nun zu untersuchen, ob die Geraden parallel oder identisch sind, setzen wir einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden echt parallel.

Aufgabe 1: Lage erkennen

Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?

a)$f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

b)$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

c)$i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

Die erste Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Ortsvektoren identisch sind, sind die Geraden identisch.

Die zweite Antwort lautet parallel. Die beiden Geraden sind parallel. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Ortsvektor von $i_2$ nicht auf der Geraden von$i_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, mit $r=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0.333 \end{pmatrix}$.

Die dritte Antwort lautet identisch. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind ($\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$) und der Ortsvektor der einen Gerade auf der anderen Gerade ist: $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Definition

Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, so können die Geraden sich lediglich schneiden oder windschief zueinander sein.

Um nun zu untersuchen, ob sich die Geraden schneiden oder zueinader winschief sind, müssen wir schauen, ob sich ein Schnittpunkt berechnen lässt. Hierzu setzen wir die Geradengleichungen gleich und formen um. Erhalten wir einen Schnittpunkt S, so schneiden sich die Geraden im Punkt S. Andernfalls sind diese Geraden windschief zueinander.

Aufgabe 2: Lage erkennen

Wie verlaufen die folgenden Geraden zueinander?

a)$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

b)$h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

c)$i_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und $i_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$

Die erste Antwort lautet schneiden. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt .

Die zweite Antwort lautet schneiden. Die beiden Geradenschneiden sich.

Die dritte Antwort lautet windschief. Die beiden Geraden sind windschief zueinander. Dies sehen wir daran,

Merksatz

Zwei Geraden...

sind identisch

• Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander)
• Ortsvektor der einen Geraden liegt auf der anderen Geraden

sind parallel

• Richtungsvektoren kollinear (= Vielfache voneinander)
• Ortsvektor der einen Geraden liegt nicht auf der anderen Geraden.

schneiden sich

• Richtungsvektoren nicht kollinear (= Vielfache voneinander)
• Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine wahre Aussage in Form eines Punktes heraus

sind zueinander windschief

• Richtungsvektoren nicht kollinear (= Vielfache voneinander)
• Bei dem Versuch einen Schnittpunkt zu berechnen, kommt eine falsche Aussage heraus

.

Aufgabe 3:

Flugerlaubnis erteilen?

Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Am heutigen Tag wollen drei Flugzeuge starten. Hierzu gehört das Fugzeug der Marke Aer startet bei $\begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}$ und fliegt mit einem Vektor von $\begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}$ pro Minute. Ebenfalls möchte das Flugzeug Amadeus in die Luft. Dies startet in $\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}$ und befindet sich 10sek später $\begin{pmatrix} 993,8 \\ 834 \\ 1030 \end{pmatrix}$. Das Flugzeug Liesbeth befindet sich beim Start in $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Es hat eine Geschwindigkeit von 160 m/s und befindet sich nach 1 sek bei $\begin{pmatrix} 97 \\ 81 \\ X \end{pmatrix}$. Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: a) Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Fugzeuge? b) Welches der Flugzeuge ist das schnellste? c) Können alle Flugzeuge starten, ohne dass es zu einer Kollision kommt?

Siehe oben: Parameterdarstellung

Um die Parameterdarstellung aufzustellen, musst du wissen, wie man die Geschwindigkeit berechnet. Die Geschwindigkeit wird aus der Länge des Richtungsvektoren emittelt.

Schaue dir die Richtungsvektoren an. Sind sie kollinear?

Nur weil sich zwei Geraden schneiden heißt es noch nicht direkt, dass eine Kollision vorherrscht

Flugzeug Aer: $f_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$

Flugzeug Amadeus: $f_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$

Flugzeug Liesbeth: $f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$

Wobei t für die Zeit in Sekunden steht.

Wir berechnen die Geschwindigkeit, indem wir die Länge des Richtungsvektors berechnen. Dies erfolgt it der Formel: $f_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 96\\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$ Flugzeug Amadeus:

Das Flugzeug Liesbeth hat nach dem Text eine Geschwindigkeit von 160 m/s

Flugzeug Aer und Amadeus: Sie schneiden sich für $\begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 122,975 \\ 103 \\ 128,75 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}$. Da es jedoch nicht der gleiche Zeitpunkt ist, kommt es zu keiner Kollision.

Flugzeug Amadeus und Liesbeth: Die Richtungsvektoren sind mit $\begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}= 1,03 \begin{pmatrix} 98,88\\ 82,4 \\ 103\end{pmatrix}$ kollinear. Daher müssen sie parallel oder identisch sein. Der Ortsvektor liegt jeodch nicht auf der Geraden der anderen Geradengleichung, weshalb sie parallel sein müssen.

Flugzeug Aer und Liesbeth